Perkalian Matriks dengan Skalar

Memahami Perkalian Matriks dengan Skalar

Dalam dunia matriks, kita tidak hanya berurusan dengan operasi antar matriks, tetapi juga operasi antara matriks dengan sebuah bilangan tunggal. Bilangan tunggal ini biasa kita sebut sebagai skalar.

Perkalian matriks dengan skalar adalah salah satu operasi dasar yang penting untuk dipahami. Bayangkan kamu memiliki sebuah resep kue, dan kamu ingin membuat resep tersebut dua kali lipat lebih banyak. Kamu tentu akan mengalikan setiap takaran bahan dengan angka 2, bukan?

Konsep serupa berlaku pada perkalian matriks dengan skalar.

Apa itu Perkalian Matriks dengan Skalar?

Perkalian matriks dengan skalar adalah operasi mengalikan setiap elemen dalam matriks dengan sebuah bilangan skalar.

Jika kita memiliki matriks $A$ dan sebuah skalar $k$, maka hasil perkalian skalar $k$ dengan matriks $A$ (ditulis sebagai $kA$) adalah sebuah matriks baru di mana setiap elemennya merupakan hasil perkalian elemen matriks $A$ yang bersesuaian dengan skalar $k$.

Secara matematis, jika matriks $A$ berordo $m \times n$:

Maka perkalian matriks $A$ dengan skalar $k$ adalah:

Matriks hasil, yaitu $kA$, akan memiliki ordo yang sama dengan matriks $A$.

Konsep ini mirip dengan penjumlahan berulang. Misalnya, $2A$ sama dengan $A + A$. Jika kita menjumlahkan matriks $A$ sebanyak $k$ kali, maka hasilnya adalah $kA$.

Perkalian Matriks dengan Skalar

Untuk lebih memahami konsep ini, mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1:

Misalkan kita memiliki matriks $P$ seperti pada gambar referensi:

Tentukan $2P$!

Penyelesaian:

Untuk menghitung $2P$, kita kalikan setiap elemen matriks $P$ dengan skalar 2.

Jadi, hasil dari $2P$ adalah $\begin{bmatrix} 18 & 14 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$.

Contoh 2:

Diberikan matriks $Q = \begin{bmatrix} -1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 4 & -\frac{1}{4} & 2 \\ -6 & 1 & -4 \end{bmatrix}$ dan skalar $k=4$. Tentukan $4Q$!

Penyelesaian:

Kita akan mengalikan setiap elemen dalam matriks $Q$ dengan skalar 4.

Dengan demikian, $4Q = \begin{bmatrix} -4 & 2 & 4 \\ 16 & -1 & 8 \\ -24 & 4 & -16 \end{bmatrix}$.

Sifat-Sifat Perkalian Matriks dengan Skalar

Perkalian matriks dengan skalar memiliki beberapa sifat penting yang perlu diketahui. Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks-matriks yang berordo sama, serta $h$ dan $k$ adalah skalar, dan $O$ adalah matriks nol.

1. Distributif terhadap Penjumlahan Matriks:

   $$k(A + B) = kA + kB$$

   Artinya, mengalikan skalar dengan jumlah dua matriks sama hasilnya dengan menjumlahkan hasil perkalian skalar dengan masing-masing matriks.

2. Distributif terhadap Penjumlahan Skalar:

   $$(h + k)A = hA + kA$$

   Artinya, mengalikan jumlah dua skalar dengan sebuah matriks sama hasilnya dengan menjumlahkan hasil perkalian masing-masing skalar dengan matriks tersebut.

3. Asosiatif terhadap Perkalian Skalar:

   $$(hk)A = h(kA) = k(hA)$$

   Artinya, mengalikan matriks dengan hasil kali dua skalar sama hasilnya dengan mengalikan skalar pertama dengan hasil kali skalar kedua dan matriks.

4. Identitas Perkalian Skalar:

   $$1A = A$$

   Mengalikan matriks dengan skalar 1 tidak mengubah matriks tersebut.

5. Perkalian dengan Skalar Nol:

   $$0A = O$$

   Mengalikan matriks dengan skalar 0 menghasilkan matriks nol ($O$), yaitu matriks yang semua elemennya adalah 0.

6. Perkalian Matriks Nol dengan Skalar:

   $$kO = O$$

   Mengalikan matriks nol dengan skalar apapun akan menghasilkan matriks nol.

7. Perkalian dengan Skalar -1:

   $$(-1)A = -A$$

   Mengalikan matriks dengan skalar -1 menghasilkan negatif dari matriks tersebut.

Sifat-sifat ini membantu menyederhanakan perhitungan dan memahami struktur aljabar matriks lebih dalam.

Latihan

1. Diberikan matriks $X = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 4 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$. Hitunglah $3X$!
2. Jika $Y = \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ -30 & 0 \end{bmatrix}$, tentukan $\frac{1}{10}Y$!
3. Diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$. Tunjukkan bahwa $3(A+B) = 3A + 3B$!

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   $$3X = 3 \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 4 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$$

   $$= \begin{bmatrix} 3 \times 5 & 3 \times (-2) \\ 3 \times 0 & 3 \times 4 \\ 3 \times (-1) & 3 \times 7 \end{bmatrix}$$

   $$= \begin{bmatrix} 15 & -6 \\ 0 & 12 \\ -3 & 21 \end{bmatrix}$$

2. Penyelesaian:

   $$\frac{1}{10}Y = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ -30 & 0 \end{bmatrix}$$

   $$= \begin{bmatrix} \frac{1}{10} \times 10 & \frac{1}{10} \times 20 \\ \frac{1}{10} \times (-30) & \frac{1}{10} \times 0 \end{bmatrix}$$

   $$= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}$$

3. Untuk menunjukkan $3(A+B) = 3A + 3B$:

   Pertama, kita hitung sisi kiri persamaan, yaitu $3(A+B)$.

   $$A+B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+0 & 1+5 \\ 3+6 & 4+(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 2 \end{bmatrix}$$

   Maka,

   $$3(A+B) = 3 \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix}$$

   Selanjutnya, kita hitung sisi kanan persamaan, yaitu $3A + 3B$.

   $$3A = 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}$$

   $$3B = 3 \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 15 \\ 18 & -6 \end{bmatrix}$$

   Maka,

   $$3A + 3B = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 15 \\ 18 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6+0 & 3+15 \\ 9+18 & 12+(-6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix}$$

   Karena hasil perhitungan sisi kiri ($\begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix}$) sama dengan hasil perhitungan sisi kanan ($\begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix}$), maka terbukti bahwa $3(A+B) = 3A + 3B$.