Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial

Konsep Dasar

Operasi penjumlahan dan pengurangan pada polinomial pada dasarnya sama seperti pada bentuk aljabar lainnya: kita hanya bisa menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku yang sejenis.

Apa Itu Suku Sejenis?

Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat variabel yang sama persis. Koefisien dari suku-suku tersebut bisa berbeda.

Contoh Suku Sejenis:

• $3x, \space -7x, \space -\frac{1}{5}x$ (semua memiliki variabel $x$ pangkat 1)
• $\frac{1}{2}x^3, \space 4x^3, \space -2x^3$ (semua memiliki variabel $x$ pangkat 3)
• $2x^2yz^3, \space \frac{3}{4}x^2yz^3, \space -5z^3x^2y$ (semua memiliki variabel $x$ pangkat 2, $y$ pangkat 1, dan $z$ pangkat 3)

Contoh Bukan Suku Sejenis:

• $11x$ dan $4x^2$ (pangkat $x$ berbeda)
• $4x^3$ dan $-2x^4$ (pangkat $x$ berbeda)
• $4x^2$ dan $-x^5$ (pangkat $x$ berbeda)
• $\frac{3}{4}x^2yz^3$ dan $2x^2y$ (tidak memiliki variabel $z^3$)
• $\frac{3}{4}x^2yz^3$ dan $-7xy^2z^3$ (pangkat $x$ dan $y$ berbeda)

Penjumlahan Polinomial

Untuk menjumlahkan dua polinomial, kita cukup menjumlahkan koefisien dari suku-suku yang sejenis.

Metode Horizontal:

1. Tuliskan kedua polinomial dalam tanda kurung yang dihubungkan dengan tanda tambah.
2. Hilangkan tanda kurung.
3. Kelompokkan suku-suku yang sejenis.
4. Jumlahkan koefisien dari masing-masing kelompok suku sejenis (gunakan sifat distributif).

Contoh:

Tentukan hasil dari $(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5) + (6x^3 + 2x^2 + 4x + 1)$.

Pengurangan Polinomial

Untuk mengurangkan dua polinomial, kita mengubah tanda setiap suku pada polinomial pengurang, lalu menjumlahkannya seperti biasa.

Metode Horizontal:

1. Tuliskan kedua polinomial dalam tanda kurung yang dihubungkan dengan tanda kurang.
2. Hilangkan tanda kurung. Ingat: ubah tanda setiap suku dalam kurung kedua (distribusikan tanda negatif).
3. Kelompokkan suku-suku yang sejenis.
4. Jumlahkan koefisien dari masing-masing kelompok suku sejenis.

Contoh:

Tentukan hasil dari $(9x^3 + 4x^2 + 6x + 5) - (2x^3 + 3x^2 + 3x + 4)$.

Perhatikan saat mengurangkan, tanda negatif di depan kurung mengubah tanda setiap suku di dalam kurung tersebut.

Metode Vertikal (Bersusun)

Selain metode horizontal, penjumlahan dan pengurangan polinomial juga bisa dilakukan dengan metode vertikal atau bersusun, mirip seperti penjumlahan dan pengurangan bilangan biasa.

Langkah-langkah:

1. Susun kedua polinomial secara vertikal.
2. Pastikan suku-suku yang sejenis berada dalam satu kolom.
3. Jika ada suku yang tidak ada pada salah satu polinomial, berikan ruang kosong atau tulis koefisien 0.
4. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada setiap kolom.

Contoh Penjumlahan Vertikal:

Contoh Pengurangan Vertikal:

Kedua metode (horizontal dan vertikal) akan menghasilkan jawaban yang sama. Pilihlah metode yang paling nyaman dan mudah dipahami.

Penjumlahan dan Pengurangan Grafik Fungsi Polinomial

Selain melakukan operasi secara aljabar, kita juga bisa memahami penjumlahan dan pengurangan polinomial secara visual melalui grafiknya.

Misalkan kita memiliki tiga grafik fungsi polinomial:

Sketsa Grafik Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Tanpa perlu mengetahui persamaan pasti dari fungsi $f$, $g$, atau $h$, kita bisa mensketsa grafik hasil penjumlahannya (misal $f(x) + g(x)$) atau pengurangannya (misal $f(x) - g(x)$) dengan cara berikut:

1. Pilih beberapa nilai $x$ yang sama pada kedua grafik.
2. Untuk setiap nilai $x$, baca nilai $y$ dari masing-masing grafik. Misalkan $y_f = f(x)$ dan $y_g = g(x)$.
3. Untuk penjumlahan ($f(x) + g(x)$): Hitung nilai $y_{\text{baru}} = y_f + y_g$.
4. Untuk pengurangan ($f(x) - g(x)$): Hitung nilai $y_{\text{baru}} = y_f - y_g$.
5. Plot titik $(x, y_{\text{baru}})$.
6. Ulangi untuk beberapa nilai $x$ lainnya.
7. Hubungkan titik-titik baru tersebut dengan kurva mulus.

Mengapa cara ini tepat?

Karena definisi dari penjumlahan atau pengurangan fungsi adalah menjumlahkan atau mengurangkan nilai output ($y$) mereka untuk setiap nilai input ($x$) yang sama.

Contoh Sketsa Grafik

Berikut adalah contoh sketsa grafik hasil penjumlahan $f(x) + g(x)$ dan pengurangan $f(x) - g(x)$ yang didapat dengan metode penjumlahan/pengurangan nilai $y$ secara vertikal untuk setiap $x$.

Dengan cara yang sama, kamu bisa mensketsa grafik $f(x) + h(x), \space g(x) + h(x), \space f(x) - h(x), \space \text{dan} \space g(x) - h(x)$. Intinya adalah menjumlahkan atau mengurangkan ketinggian (nilai $y$) dari grafik-grafik asli pada setiap nilai $x$ yang bersesuaian.