Grafik Fungsi Polinomial

Menggambar Grafik Fungsi Polinomial

Grafik fungsi polinomial memberikan gambaran visual tentang bagaimana nilai fungsi berubah seiring perubahan nilai input $x$ . Bentuk grafik ini bisa sangat bervariasi tergantung pada derajat dan koefisien fungsinya.

Metode Plotting Titik

Cara paling mendasar untuk menggambar grafik adalah dengan menentukan beberapa pasangan titik $(x, y)$ yang memenuhi fungsi tersebut, lalu menghubungkannya dengan kurva yang mulus.

Langkah-langkah:

Pilih beberapa nilai $x$ yang berbeda.
Hitung nilai $y = P(x)$ untuk setiap nilai $x$ yang dipilih.
Buat tabel pasangan nilai $(x, y)$ .
Plot titik-titik tersebut pada bidang koordinat.
Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang halus dan kontinu.

Fungsi Linear (Derajat 1)

Gambarkan grafik fungsi $f(x) = 2x + 5$ .

Kita pilih beberapa nilai $x$ dan hitung $y$ :

$x$	$y = f(x)$	$(x, y)$
-3	-1	$(-3, -1)$
-2	1	$(-2, 1)$
-1	3	$(-1, 3)$
0	5	$(0, 5)$
1	7	$(1, 7)$
2	9	$(2, 9)$
3	11	$(3, 11)$

Plot titik-titik dan hubungkan:

Grafik

f(x) = 2x + 5

Grafik fungsi linear derajat 1.

Fungsi Kuadrat (Derajat 2)

Gambarkan grafik fungsi $g(x) = x^2 - 2x - 3$ .

Tabel nilai:

$x$	$y = g(x)$	$(x, y)$
-2	5	$(-2, 5)$
-1	0	$(-1, 0)$
0	-3	$(0, -3)$
1	-4	$(1, -4)$
2	-3	$(2, -3)$
3	0	$(3, 0)$
4	5	$(4, 5)$

Plot titik-titik dan hubungkan dengan kurva mulus (parabola):

Grafik

g(x) = x^2 - 2x - 3

Grafik fungsi kuadrat derajat 2.

Fungsi Kubik (Derajat 3)

Gambarkan grafik fungsi $h(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ .

Tabel nilai:

$x$	$y = h(x)$	$(x, y)$
-4	-20	$(-4, -20)$
-3	-4	$(-3, -4)$
-2	0	$(-2, 0)$
-1	-2	$(-1, -2)$
0	-4	$(0, -4)$
1	0	$(1, 0)$
2	16	$(2, 16)$

Plot titik-titik dan hubungkan dengan kurva mulus:

Grafik

h(x) = x^3 + 3x^2 - 4

Grafik fungsi kubik derajat 3.

Karakteristik Umum Grafik Polinomial

Grafik fungsi polinomial selalu mulus (tidak ada sudut tajam) dan kontinu (tidak ada lompatan atau jeda). Bentuk umumnya sangat dipengaruhi oleh derajat polinomialnya.

Derajat 0: $P(x) = c$ . Grafiknya berupa garis horizontal.
Derajat 1: $P(x) = ax + b$ . Grafiknya berupa garis lurus (miring).
Derajat 2: $P(x) = ax^2 + bx + c$ . Grafiknya berupa parabola.
Derajat 3: $P(x) = ax^3 + \dots$ . Grafiknya memiliki bentuk seperti huruf 'S' atau 'S' terbalik, bisa memiliki hingga dua 'puncak' atau 'lembah'.
Derajat 4: Grafiknya bisa memiliki hingga tiga 'puncak' atau 'lembah'.
Derajat 5: Grafiknya bisa memiliki hingga empat 'puncak' atau 'lembah'.

Secara umum, grafik fungsi polinomial berderajat $n$ dapat memotong sumbu $x$ maksimal $n$ kali dan memiliki maksimal $n-1$ titik balik (puncak atau lembah).

Perilaku Ujung (End Behavior)

Salah satu karakteristik penting grafik fungsi polinomial adalah perilaku ujung-nya, yaitu arah grafik saat $x$ menuju tak hingga positif ( $x \to \infty$ ) atau tak hingga negatif ( $x \to -\infty$ ).

Perilaku ujung ini ditentukan hanya oleh suku utama $a_n x^n$ :

Derajat $n$ (Genap atau Ganjil)
Koefisien utama $a_n$ (Positif atau Negatif)

Ada 4 kemungkinan kombinasi:

$n$ Genap, $a_n > 0$ (Positif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to \infty$ (kanan atas $\nearrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to \infty$ (kiri atas $\nwarrow$ )
- Contoh: $y = x^2$ , $y = x^4$
  
  Grafik $y = x^2$ (Genap, Positif)
  Grafik naik ke kiri dan ke kanan.
$n$ Genap, $a_n < 0$ (Negatif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to -\infty$ (kanan bawah $\searrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to -\infty$ (kiri bawah $\swarrow$ )
- Contoh: $y = -x^2$ , $y = -x^6$
  
  Grafik $y = -x^2$ (Genap, Negatif)
  Grafik turun ke kiri dan ke kanan.
$n$ Ganjil, $a_n > 0$ (Positif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to \infty$ (kanan atas $\nearrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to -\infty$ (kiri bawah $\swarrow$ )
- Contoh: $y = x$ , $y = x^3$ , $y = x^5$
  
  Grafik $y = x^3$ (Ganjil, Positif)
  Grafik turun ke kiri dan naik ke kanan.
$n$ Ganjil, $a_n < 0$ (Negatif):
- Saat $x \to \infty$ , $y \to -\infty$ (kanan bawah $\searrow$ )
- Saat $x \to -\infty$ , $y \to \infty$ (kiri atas $\nwarrow$ )
- Contoh: $y = -x$ , $y = -x^3$
  
  Grafik $y = -x^3$ (Ganjil, Negatif)
  Grafik naik ke kiri dan turun ke kanan.

Menggunakan Perilaku Ujung

Mengetahui perilaku ujung sangat membantu dalam mengidentifikasi grafik fungsi polinomial tanpa harus menggambarnya secara detail.

Contoh Aplikasi:

Cocokkan fungsi berikut dengan kemungkinan perilaku ujungnya:

$f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x - 3$
- Suku utama: $x^4$
- Derajat $n=4$ (Genap)
- Koefisien utama $a_n=1$ (Positif)
- Perilaku ujung: Kiri atas ( $\nwarrow$ ), Kanan atas ( $\nearrow$ )
Grafik $f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x - 3$
Perilaku Ujung: $\nwarrow$ $\nearrow$
$g(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1$
- Suku utama: $-x^3$
- Derajat $n=3$ (Ganjil)
- Koefisien utama $a_n=-1$ (Negatif)
- Perilaku ujung: Kiri atas ( $\nwarrow$ ), Kanan bawah ( $\searrow$ )
Grafik $g(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1$
Perilaku Ujung: $\nwarrow$ $\searrow$
$h(x) = -x^6 - \frac{11}{4}x^5 + x^4 + 5x^3 + 2$
- Suku utama: $-x^6$
- Derajat $n=6$ (Genap)
- Koefisien utama $a_n=-1$ (Negatif)
- Perilaku ujung: Kiri bawah ( $\swarrow$ ), Kanan bawah ( $\searrow$ )
Grafik $h(x) = -x^6 - \frac{11}{4}x^5 + x^4 + 5x^3 + 2$
Perilaku Ujung: $\swarrow$ $\searrow$
$k(x) = 25x^5 - 20x^4 - 26x^3 + 12x^2 + 9x - 1$
- Suku utama: $25x^5$
- Derajat $n=5$ (Ganjil)
- Koefisien utama $a_n=25$ (Positif)
- Perilaku ujung: Kiri bawah ( $\swarrow$ ), Kanan atas ( $\nearrow$ )
Grafik $k(x) = 25x^5 - 20x^4 - 26x^3 + 12x^2 + 9x - 1$
Perilaku Ujung: $\swarrow$ $\nearrow$

Dengan menganalisis suku utama, kita bisa memperkirakan bentuk umum grafik di ujung-ujungnya.

Command Palette