Pembagian Polinomial

Konsep Dasar Pembagian Polinomial

Pembagian polinomial mirip dengan pembagian bilangan bulat yang sudah kita kenal. Saat kita membagi satu bilangan dengan bilangan lain, kita mendapatkan hasil bagi dan sisa.

Misalnya, saat membagi 7 dengan 4:

• $\frac{7}{4}$ dapat ditulis sebagai $1 \frac{3}{4}$ (1 sisa 3)
• Ini juga bisa ditulis sebagai $7 = 4 \cdot 1 + 3$

Di sini:

• 7 adalah bilangan yang dibagi (dividend)
• 4 adalah pembagi (divisor)
• 1 adalah hasil bagi (quotient)
• 3 adalah sisa (remainder)

Konsep yang sama berlaku untuk polinomial.

Algoritma Pembagian Polinomial

Algoritma pembagian menyatakan hubungan antara polinomial yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa.

Jika $P(x)$ (polinomial yang dibagi) dan $Q(x)$ (polinomial pembagi) adalah dua polinomial, dengan $Q(x) \neq 0$, maka ada polinomial-polinomial $H(x)$ (hasil bagi) dan $S(x)$ (sisa) yang tunggal, sedemikian sehingga:

atau dapat ditulis sebagai:

Dengan syarat derajat $S(x)$ lebih rendah dari derajat $Q(x)$, atau $S(x) = 0$ (sisanya nol).

Istilah:

• $P(x)$: Polinomial yang dibagi (Dividend)
• $Q(x)$: Polinomial pembagi (Divisor)
• $H(x)$: Hasil bagi (Quotient)
• $S(x)$: Sisa pembagian (Remainder)

Contoh Ilustrasi:

Pembagian $x^3 + 4x^2 + 5x + 8$ oleh $x + 3$ menghasilkan:

• Hasil bagi $H(x) = x^2 + x + 2$
• Sisa $S(x) = 2$

Ini dapat ditulis dalam dua bentuk sesuai algoritma:

1. Bentuk pecahan:

   $$\frac{x^3 + 4x^2 + 5x + 8}{x + 3} = x^2 + x + 2 + \frac{2}{x + 3}$$

2. Bentuk perkalian:

   $$x^3 + 4x^2 + 5x + 8 = (x + 3)(x^2 + x + 2) + 2$$

Perhatikan bahwa derajat sisa ($S(x)=2$, derajat 0) lebih rendah dari derajat pembagi ($x+3$, derajat 1).

Verifikasi Algoritma Pembagian

Kita bisa membuktikan kebenaran bentuk kedua di atas dengan mengalikan hasil bagi dengan pembagi, lalu menambahkan sisanya.

Buktikan bahwa $x^3 + 4x^2 + 5x + 8 = (x + 3)(x^2 + x + 2) + 2$.

Kita jabarkan ruas kanan:

Karena ruas kanan sama dengan ruas kiri, maka persamaan terbukti benar.