Pembagian Bersusun

Pembagian dengan Cara Bersusun (Long Division)

Pembagian polinomial dengan cara bersusun adalah metode yang paling umum digunakan untuk menemukan hasil bagi dan sisa pembagian dua polinomial. Cara ini mirip dengan pembagian bersusun yang kita lakukan pada bilangan bulat.

Persiapan Pembagian Bersusun

Sebelum memulai pembagian, ada beberapa hal yang perlu dipersiapkan:

1. Urutkan Suku:

   Tuliskan polinomial yang dibagi ($P(x)$) dan polinomial pembagi ($Q(x)$) dalam urutan pangkat variabel menurun (dari pangkat tertinggi ke terendah).

2. Lengkapi Suku:

   Jika ada suku dengan pangkat tertentu yang tidak ada (koefisiennya nol), tetap tuliskan suku tersebut dengan koefisien 0 sebagai placeholder. Ini sangat penting untuk menjaga kolom tetap lurus saat melakukan pengurangan.

   Contoh:

   Jika $P(x) = 4x^4 + 17x^3 - 3x + 1$, suku $x^2$ tidak ada.

   Maka kita tulis menjadi $P(x) = 4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1$.

3. Susun Pembagian:

   Tulis pembagian dalam format bersusun, dengan $P(x)$ (yang sudah dilengkapi) di dalam simbol bagi dan $Q(x)$ di luar.

Langkah-langkah Pembagian Bersusun

Proses pembagian dilakukan langkah demi langkah sebagai berikut:

1. Bagi: Bagi suku pertama $P(x)$ dengan suku pertama $Q(x)$. Tulis hasilnya sebagai suku pertama dari hasil bagi ($H(x)$) di atas garis.
2. Kali: Kalikan suku hasil bagi yang baru saja didapat dengan seluruh suku pembagi $Q(x)$.
3. Kurang: Tulis hasil perkalian tersebut di bawah $P(x)$, luruskan suku-suku sejenis, lalu kurangkan dari $P(x)$ untuk mendapatkan sisa sementara.
4. Turunkan: Turunkan suku berikutnya dari $P(x)$ ke samping sisa sementara untuk membentuk polinomial baru.
5. Ulangi: Ulangi langkah 1-4 dengan polinomial baru ini, sampai derajat sisa sementara lebih kecil dari derajat pembagi $Q(x)$.

Contoh Pembagian Bersusun

Bagilah $P(x) = 4x^4 + 17x^3 - 3x + 1$ dengan $Q(x) = x^2 + 4x - 1$.

1. Persiapan:

   • $P(x) = 4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1$ (lengkapi suku $x^2$)
   • $Q(x) = x^2 + 4x - 1$

2. Proses Pembagian:

   $$\begin{array}{l} \qquad\qquad\qquad 4x^2 + x \\ x^2+4x-1\overline{\big)4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1} \\ \qquad\qquad\underline{-(4x^4 + 16x^3 - 4x^2)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad x^3 + 4x^2 - 3x \\ \qquad\qquad\qquad\quad\underline{-(x^3 + 4x^2 - x)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -2x + 1 \\ \end{array}$$

3. Penjelasan Langkah Demi Langkah:

   Iterasi 1:

   • Bagi: Bagi suku pertama $4x^4$ dengan suku pertama pembagi $x^2$:

     $$\frac{4x^4}{x^2} = 4x^2$$

     Tulis $4x^2$ sebagai suku pertama hasil bagi.

   • Kali: Kalikan $4x^2$ dengan pembagi $x^2 + 4x - 1$:

     $$4x^2(x^2 + 4x - 1) = 4x^4 + 16x^3 - 4x^2$$

   • Kurang: Kurangkan hasil perkalian dari polinomial awal:

     $$(4x^4 + 17x^3 + 0x^2) - (4x^4 + 16x^3 - 4x^2) = x^3 + 4x^2$$

   • Turunkan: Turunkan suku berikutnya ($-3x$) untuk mendapatkan polinomial baru:

     $x^3 + 4x^2 - 3x$

   Iterasi 2:

   • Bagi: Bagi suku pertama polinomial baru $x^3$ dengan suku pertama pembagi $x^2$:

     $$\frac{x^3}{x^2} = x$$

     Tulis $+x$ sebagai suku berikutnya hasil bagi.

   • Kali: Kalikan $x$ dengan pembagi $x^2 + 4x - 1$:

     $$x(x^2 + 4x - 1) = x^3 + 4x^2 - x$$

   • Kurang: Kurangkan hasil perkalian dari polinomial saat ini:

     $$(x^3 + 4x^2 - 3x) - (x^3 + 4x^2 - x) = -2x$$

   • Turunkan: Turunkan suku berikutnya ($+1$) untuk mendapatkan sisa sementara:

     $$-2x + 1$$

   Berhenti: Derajat sisa ($-2x+1$, derajat 1) lebih kecil dari derajat pembagi ($x^2+4x-1$, derajat 2), maka pembagian berhenti.

4. Hasil:

   • Hasil Bagi ($H(x)$) adalah $4x^2 + x$.
   • Sisa ($S(x)$) adalah $-2x + 1$.

5. Penulisan dalam Algoritma Pembagian:

   Berdasarkan algoritma pembagian, kita dapat menuliskan hasilnya sebagai:

   • Bentuk Pecahan:

     $$\frac{4x^4 + 17x^3 - 3x + 1}{x^2 + 4x - 1} = 4x^2 + x + \frac{-2x + 1}{x^2 + 4x - 1}$$

   • Bentuk Perkalian:

     $$4x^4 + 17x^3 - 3x + 1 = (x^2 + 4x - 1)(4x^2 + x) + (-2x + 1)$$

Metode pembagian bersusun ini mungkin terlihat panjang, tetapi sangat sistematis dan dapat diandalkan untuk semua jenis pembagian polinomial.

Latihan

Carilah polinomial hasil bagi $H(x)$ dan polinomial sisa $S(x)$ setelah $P(x) = x^3 - x + 9$ dibagi dengan $Q(x) = x^2 - 2x + 3$.

Nyatakan hasilnya ke dalam bentuk $P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)$.

Kunci Jawaban

Lengkapi $P(x)$ menjadi $x^3 + 0x^2 - x + 9$.

• Hasil Bagi: $H(x) = x + 2$

• Sisa: $S(x) = 3$

• Bentuk Algoritma Pembagian:

  $$x^3 - x + 9 = (x^2 - 2x + 3)(x + 2) + 3$$