Teorema Faktor

Memahami Teorema Faktor

Ketika kita membagi suatu polinomial $P(x)$ dengan $(x - c)$, terkadang sisa pembagiannya adalah nol. Kita tahu dari Teorema Sisa bahwa jika sisa pembagiannya nol, maka $P(c) = 0$. Nah, apa artinya jika $P(c) = 0$?

Nilai $c$ yang menyebabkan $P(c) = 0$ disebut sebagai pembuat nol atau akar dari polinomial $P(x)$. Teorema Faktor menjelaskan hubungan erat antara pembuat nol ini dengan faktor dari polinomial tersebut.

Pernyataan Teorema Faktor

Misalkan $P(x)$ adalah suatu polinomial dan $c$ adalah bilangan real.

$(x - c)$ merupakan faktor dari $P(x)$ jika dan hanya jika $P(c) = 0$.

Ini adalah pernyataan dua arah:

1. Jika $(x - c)$ adalah faktor dari $P(x)$, maka $P(c) = 0$.

   (Jika suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan lain, sisanya pasti nol).

2. Jika $P(c) = 0$, maka $(x - c)$ adalah faktor dari $P(x)$.

   (Jika nilai polinomial di $x=c$ adalah nol, berarti $(x-c)$ membagi habis polinomial tersebut).

Kaitan dengan Teorema Sisa

Teorema Faktor sebenarnya adalah kasus khusus dari Teorema Sisa. Ingat algoritma pembagian:

Dan dari Teorema Sisa, kita tahu $S = P(c)$.

• Jika $(x - c)$ adalah faktor, artinya $P(x)$ habis dibagi $(x - c)$. Ini hanya terjadi jika sisa pembagiannya nol. Maka, $S = P(c) = 0$.
• Jika $P(c) = 0$, maka $S = 0$. Persamaan menjadi $P(x) = (x - c) \cdot H(x) + 0$, atau $P(x) = (x - c) \cdot H(x)$. Ini menunjukkan bahwa $(x - c)$ adalah faktor dari $P(x)$.

Menggunakan Teorema Faktor untuk Memfaktorkan Polinomial

Teorema Faktor sangat berguna untuk mencari faktor-faktor linier dari suatu polinomial dan kemudian memfaktorkannya secara lengkap.

Langkah-langkah Umum:

1. Cari Pembuat Nol: Coba tebak atau gunakan petunjuk (seperti jumlah koefisien) untuk menemukan nilai $c$ sehingga $P(c) = 0$.

2. Konfirmasi Faktor: Jika $P(c) = 0$, maka berdasarkan Teorema Faktor, $(x - c)$ adalah salah satu faktor dari $P(x)$.

3. Bagi Polinomial: Gunakan metode Horner atau pembagian bersusun untuk membagi $P(x)$ dengan faktor $(x - c)$ yang sudah ditemukan. Hasil baginya adalah $H(x)$.

   $$P(x) = (x - c) \cdot H(x)$$

4. Faktorkan Hasil Bagi: Jika $H(x)$ masih bisa difaktorkan (misalnya jika $H(x)$ adalah polinomial kuadrat atau kubik yang masih bisa dicari akarnya), ulangi proses dari langkah 1 pada $H(x)$.

5. Faktorisasi Lengkap: Tulis $P(x)$ sebagai perkalian dari semua faktor linier yang ditemukan.

Memfaktorkan Polinomial

Misalkan $P(x) = x^3 + 2x^2 - 13x + 10$. Kita perhatikan bahwa jumlah semua koefisien dan konstanta ($1 + 2 - 13 + 10$) adalah 0. Ini menandakan bahwa $P(1) = 0$.

1. Konfirmasi Pembuat Nol:

   Hitung $P(1)$.

   $$P(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - 13(1) + 10$$

   $$P(1) = 1 + 2 - 13 + 10$$

   $$P(1) = 0$$

2. Konfirmasi Faktor:

   Karena $P(1) = 0$, maka $(x - 1)$ adalah faktor dari $P(x)$.

3. Bagi Polinomial:

   Kita gunakan metode Horner untuk membagi $P(x)$ dengan $(x - 1)$ ($c = 1$).

   $$\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & 2 & -13 & 10 \\ & & 1 & 3 & -10 \\ \hline & 1 & 3 & -10 & \boxed{0} \\ \end{array}$$

   Hasil baginya adalah $H(x) = 1x^2 + 3x - 10 = x^2 + 3x - 10$. Sisa pembagian adalah 0, sesuai dugaan.

   Jadi, $P(x) = (x - 1)(x^2 + 3x - 10)$.

4. Faktorkan Hasil Bagi:

   Faktorkan polinomial kuadrat $H(x) = x^2 + 3x - 10$.

   $$x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)$$

5. Faktorisasi Lengkap:

   Gabungkan semua faktor.

   $$P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 5)$$

Latihan

Misalkan $P(x) = x^3 - 2x^2 - 21x - 18$. Tunjukkan bahwa $P(-1) = 0$, dan gunakan hal tersebut untuk memfaktorkan $P(x)$ secara komplet.

Kunci Jawaban

1. Tunjukkan $P(-1) = 0$:

   $$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 21(-1) - 18$$

   $$P(-1) = -1 - 2(1) + 21 - 18$$

   $$P(-1) = -1 - 2 + 21 - 18$$

   $$P(-1) = -3 + 3 = 0$$

   Terbukti $P(-1) = 0$.

2. Konfirmasi Faktor:

   Karena $P(-1) = 0$, maka $(x - (-1)) = (x + 1)$ adalah faktor dari $P(x)$.

3. Bagi Polinomial (Metode Horner dengan $c = -1$):

   $$\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & -2 & -21 & -18 \\ & & -1 & 3 & 18 \\ \hline & 1 & -3 & -18 & \boxed{0} \\ \end{array}$$

   Hasil baginya adalah $H(x) = x^2 - 3x - 18$.

   Jadi, $P(x) = (x + 1)(x^2 - 3x - 18)$.

4. Faktorkan Hasil Bagi:

   Faktorkan $H(x) = x^2 - 3x - 18$.

   $$x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)$$

5. Faktorisasi Lengkap:

   $$P(x) = (x + 1)(x - 6)(x + 3)$$