Teorema Sisa

Memahami Teorema Sisa

Pernahkah kamu berpikir, adakah cara cepat untuk mengetahui sisa pembagian suatu polinomial tanpa perlu melakukan pembagian bersusun atau metode Horner yang panjang? Jawabannya ada pada Teorema Sisa!

Teorema Sisa memberikan hubungan menarik antara sisa pembagian polinomial dengan nilai polinomial itu sendiri.

Pernyataan Teorema Sisa

Jika suatu polinomial $P(x)$ dibagi oleh $(x - c)$, maka sisa pembagiannya adalah $S = P(c)$.

Artinya, untuk mencari sisa pembagian $P(x)$ oleh $(x - c)$, kita cukup menghitung nilai $P(x)$ ketika $x = c$.

Mengapa Teorema Sisa Berlaku?

Teorema ini berasal langsung dari algoritma pembagian polinomial yang sudah kita kenal:

Di mana:

• $P(x)$ adalah polinomial yang dibagi.
• $(x - c)$ adalah polinomial pembagi (berderajat 1).
• $H(x)$ adalah hasil bagi.
• $S$ adalah sisa pembagian (berupa konstanta, karena pembagi berderajat 1).

Sekarang, coba kita substitusikan $x = c$ ke dalam persamaan algoritma pembagian tersebut:

Terbukti bahwa nilai polinomial $P(x)$ saat $x = c$ sama dengan sisa $S$ ketika $P(x)$ dibagi oleh $(x - c)$.

Menghitung Teorema Sisa

Teorema Sisa sangat berguna untuk menentukan sisa pembagian secara cepat atau untuk menghitung nilai suatu polinomial pada titik tertentu.

Tentukan sisa pembagian jika $P(x) = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 9x^2 - 10$ dibagi oleh $x + 4$.

Menggunakan Metode Horner

Pembagi adalah $x + 4$, atau $x - (-4)$, jadi $c = -4$.

Koefisien $P(x)$ (lengkapi suku x): $2, 5, -10, 9, 0, -10$.

Dari metode Horner, kita dapatkan:

• Hasil Bagi: $H(x) = 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 4$
• Sisa: $S = \boxed{6}$

Menggunakan Teorema Sisa

Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian $P(x)$ oleh $x - (-4)$ adalah $P(-4)$.

Mari kita hitung $P(-4)$:

Hasilnya sama! Dengan Teorema Sisa, kita menemukan bahwa sisanya adalah 6, sama seperti hasil dari metode Horner, tetapi tanpa perlu melakukan proses pembagian lengkap.

Ini menunjukkan bahwa menghitung $P(c)$ adalah cara lain untuk menemukan sisa pembagian oleh $(x-c)$.

Latihan

Jika $P(x) = 3x^5 - 20x^4 - 6x^3 - 48x - 8$ dibagi dengan $x - 7$, tentukan sisanya menggunakan Teorema Sisa.

Kunci Jawaban

Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian $P(x)$ oleh $x - 7$ adalah $P(7)$.

Jadi, sisa pembagiannya adalah $-1$.