Pembuat Nol Rasional

Mencari Akar Rasional Polinomial

Setelah mengetahui Teorema Faktor, kita tahu bahwa mencari faktor $(x-c)$ sama saja dengan mencari pembuat nol (akar) $c$ dari polinomial $P(x)$. Namun, bagaimana cara kita menemukan nilai $c$ tersebut, terutama jika polinomialnya berderajat tinggi?

Mencoba-coba semua bilangan tentu tidak efisien. Di sinilah Teorema Pembuat Nol Rasional (atau Teorema Akar Rasional) berperan. Teorema ini membantu kita mempersempit daftar kemungkinan akar rasional dari suatu polinomial.

Teorema Pembuat Nol Rasional

Misalkan $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ adalah polinomial dengan koefisien-koefisien ($a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$) yang semuanya merupakan bilangan bulat, dengan $a_n \neq 0$ dan $a_0 \neq 0$.

Jika polinomial $P(x)$ tersebut memiliki pembuat nol (akar) rasional berbentuk $\frac{p}{q}$ (di mana $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat, $q \neq 0$, dan $\frac{p}{q}$ adalah pecahan paling sederhana), maka:

• $p$ pasti merupakan faktor dari konstanta $a_0$.
• $q$ pasti merupakan faktor dari koefisien utama $a_n$.

Teorema ini hanya memberikan daftar kemungkinan akar rasional. Belum tentu semua nilai $\frac{p}{q}$ dari daftar tersebut benar-benar akar dari polinomialnya. Kita masih perlu mengujinya.

Langkah-langkah Teorema Pembuat Nol Rasional

Berikut langkah-langkah untuk menemukan akar rasional menggunakan teorema ini, seringkali dikombinasikan dengan Teorema Faktor:

1. Identifikasi Koefisien: Pastikan semua koefisien ($a_n, \dots, a_0$) adalah bilangan bulat. Identifikasi konstanta $a_0$ dan koefisien utama $a_n$.
2. Daftar Faktor $p$: Buat daftar semua faktor bilangan bulat (positif dan negatif) dari konstanta $a_0$.
3. Daftar Faktor $q$: Buat daftar semua faktor bilangan bulat (positif dan negatif) dari koefisien utama $a_n$.
4. Daftar Kemungkinan Akar $\frac{p}{q}$: Buat daftar semua kemungkinan nilai $\frac{p}{q}$ dengan membagi setiap faktor $p$ dengan setiap faktor $q$. Sederhanakan pecahan dan hilangkan duplikat.
5. Uji Kemungkinan Akar: Uji setiap nilai $\frac{p}{q}$ dari daftar kemungkinan dengan mensubstitusikannya ke $P(x)$ (menggunakan Teorema Sisa) atau menggunakan metode Horner. Jika hasilnya $P(\frac{p}{q}) = 0$, maka $\frac{p}{q}$ adalah akar rasional, dan $(x - \frac{p}{q})$ (atau bentuk $(qx - p)$) adalah faktornya (Teorema Faktor).
6. Faktorkan Lebih Lanjut: Setelah menemukan satu akar rasional $c$, gunakan hasil bagi dari metode Horner untuk mencari akar-akar lainnya dari polinomial yang derajatnya sudah lebih rendah.

Penggunaan Teorema Faktor dan Pembuat Nol Rasional

Faktorkan polinomial $P(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18$ secara komplet.

1. Identifikasi Koefisien:

   Koefisien adalah bilangan bulat. $a_0 = -18$ dan $a_n = 1$.

2. Faktor $p$ (dari $a_0 = -18$):

   $$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$$

3. Faktor $q$ (dari $a_n = 1$):

   $$\pm 1$$

4. Kemungkinan Akar $\frac{p}{q}$:

   Membagi semua $p$ dengan $q = \pm 1$ menghasilkan:

   $$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$$

5. Uji Kemungkinan Akar: Kita coba beberapa nilai dari daftar ini.

   • Coba $x = 1$:

     $$P(1) = 1 + 2 - 9 - 18 = -24 \neq 0$$

   • Coba $x = -1$:

     $$P(-1) = -1 + 2 + 9 - 18 = -8 \neq 0$$

   • Coba $x = 2$:

     $$P(2) = 8 + 8 - 18 - 18 = -20 \neq 0$$

   • Coba $x = -2$:

     $$P(-2) = -8 + 8 + 18 - 18 = 0$$
     .

     Berhasil! Jadi, $x = -2$ adalah akar, dan $(x+2)$ adalah faktor.

   • Atau dicoba $x = 3$:

     $$P(3) = (3)^3 + 2(3)^2 - 9(3) - 18 = 27 + 18 - 27 - 18 = 0$$

     Berhasil! Jadi, $x = 3$ adalah akar, dan $(x-3)$ adalah faktor.

6. Faktorkan Lebih Lanjut (menggunakan akar $x = 3$):

   Bagi $P(x)$ dengan $(x-3)$ menggunakan Horner ($c = 3$).

   $$\begin{array}{c|cccc} 3 & 1 & 2 & -9 & -18 \\ & & 3 & 15 & 18 \\ \hline & 1 & 5 & 6 & \boxed{0} \\ \end{array}$$

   Hasil baginya $H(x) = x^2 + 5x + 6$.

   Maka, $P(x) = (x-3)(x^2 + 5x + 6)$.

7. Faktorkan Hasil Bagi:

   Faktorkan $x^2 + 5x + 6$.

   $$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$$

8. Faktorisasi Lengkap:

   $$P(x) = (x-3)(x+2)(x+3)$$

Latihan

Faktorkan $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 20$ secara komplet menggunakan Teorema Pembuat Nol Rasional dan Teorema Faktor.

Kunci Jawaban

1. Identifikasi Koefisien: $a_0 = 20$, $a_n = 2$.

2. Faktor $p$ (dari 20): $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$.

3. Faktor $q$ (dari 2): $\pm 1, \pm 2$.

4. Kemungkinan Akar $\frac{p}{q}$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm 1/2, \pm 5/2$.

5. Uji Akar:

   Coba $x = 2$.

   $$P(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 20$$

   $$P(2) = 2(8) - 3(4) - 24 + 20$$

   $$P(2) = 16 - 12 - 24 + 20$$

   $$P(2) = 4 - 4 = 0$$

   Karena $P(2)=0$, maka $x=2$ adalah akar dan $(x-2)$ adalah faktor.

6. Bagi dengan Horner ($c = 2$):

   $$\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -3 & -12 & 20 \\ & & 4 & 2 & -20 \\ \hline & 2 & 1 & -10 & \boxed{0} \\ \end{array}$$

   Hasil bagi $H(x) = 2x^2 + x - 10$.

   $P(x) = (x-2)(2x^2 + x - 10)$.

7. Faktorkan Hasil Bagi:

   Faktorkan $2x^2 + x - 10$.

   $$2x^2 + x - 10 = (2x+5)(x-2)$$

8. Faktorisasi Lengkap:

   $$P(x) = (x-2)(2x+5)(x-2)$$

   $$P(x) = (x-2)^2 (2x+5)$$