Metode Horner

Mengenal Metode Horner

Metode Horner adalah cara yang lebih efisien dan sederhana untuk melakukan pembagian polinomial, terutama ketika polinomial pembaginya berbentuk linier seperti $(x-c)$. Metode ini bisa dianggap sebagai penyederhanaan dari pembagian bersusun, karena hanya melibatkan penulisan koefisien dan operasi perkalian serta penjumlahan yang lebih ringkas.

Perbandingan dengan Pembagian Bersusun

Untuk melihat bagaimana Metode Horner menyederhanakan proses, mari bandingkan pembagian $P(x) = x^3 - 7x + 8$ (atau $x^3 + 0x^2 - 7x + 8$) dengan $x-2$ menggunakan kedua cara:

Pembagian Bersusun:

Metode Horner:

Perhatikan bagaimana Metode Horner hanya fokus pada koefisien $(1, 0, -7, 8)$ dan nilai $c=2$. Baris bawah pada Metode Horner $(1, 2, -3)$ langsung memberikan koefisien hasil bagi $1x^2 + 2x - 3$ dan angka terakhir $\boxed{2}$ adalah sisanya.

Ini jauh lebih ringkas daripada menuliskan semua variabel dan pangkat seperti pada pembagian bersusun.

Metode ini hanya bisa langsung digunakan jika pembaginya adalah polinomial linier derajat satu, yaitu berbentuk $(x-c)$ atau $(ax-b)$ (yang bisa diubah bentuk).

Persiapan Menggunakan Metode Horner

Sebelum melakukan pembagian dengan metode Horner, ada beberapa langkah persiapan:

1. Identifikasi Koefisien Polinomial yang Dibagi ($P(x)$):

   Tuliskan semua koefisien dari polinomial yang akan dibagi secara berurutan, dimulai dari suku dengan pangkat tertinggi hingga konstanta. Pastikan tidak ada pangkat yang terlewat. Jika ada suku dengan pangkat tertentu yang tidak ada, koefisiennya ditulis sebagai 0.

   Contoh:

   Untuk $P(x) = 2x^3 + 5x^2 + 6$, koefisien suku $x$ adalah 0. Maka, koefisien yang kita tulis berurutan adalah: $2, 5, 0, 6$.

2. Identifikasi Nilai $c$ dari Pembagi ($x-c$):

   Tentukan nilai $c$ dari polinomial pembagi. Ingat, jika pembagi adalah $x-c$, nilai yang digunakan adalah $c$. Jika pembagi adalah $x+c$, maka bentuknya sama dengan $x - (-c)$, sehingga nilai yang digunakan adalah $-c$.

   Contoh:

   Jika pembagi adalah $x+3$, maka $x - (-3)$, sehingga $c = -3$.

3. Buat Skema Horner:

   Gambarkan skema atau bagan Horner. Letakkan nilai $c$ di sebelah kiri dan tuliskan koefisien $P(x)$ di baris atas.

Proses Pembagian dengan Metode Horner

Berikut adalah langkah-langkah melakukan pembagian menggunakan skema Horner:

1. Turunkan Koefisien Pertama: Turunkan koefisien pertama ($a_n$) langsung ke baris hasil (baris paling bawah).
2. Kali dan Letakkan: Kalikan koefisien yang baru saja diturunkan dengan nilai $c$. Letakkan hasilnya di bawah koefisien kedua ($a_{n-1}$).
3. Jumlahkan: Jumlahkan koefisien kedua ($a_{n-1}$) dengan hasil perkalian dari langkah sebelumnya. Tuliskan hasilnya di baris hasil, tepat di bawahnya.
4. Ulangi: Ulangi langkah 2 (kali dengan $c$) dan langkah 3 (jumlahkan dengan koefisien di atasnya) untuk semua koefisien yang tersisa.
5. Hasil Akhir: Angka terakhir di baris hasil adalah sisa pembagian ($S$). Angka-angka lainnya di baris hasil, dari kiri ke kanan, adalah koefisien dari polinomial hasil bagi ($H(x)$), dimulai dari pangkat $n-1$.

Penggunaan Metode Horner

Mari kita bagi $P(x) = 2x^3 + 5x^2 + 6$ dengan $x+3$ menggunakan kedua metode.

Pembagian Bersusun:

Metode Horner:

1. Persiapan:

   • Koefisien $P(x)$: $2, 5, 0$ (untuk $x^1$), $6$ (konstanta).
   • Pembagi adalah $x+3$, maka $x - (-3)$, jadi $c = -3$.

2. Proses Horner:

   $$\begin{array}{c|cccc} -3 & 2 & 5 & 0 & 6 \\ & & -6 & 3 & -9 \\ \hline & 2 & -1 & 3 & \boxed{-3} \\ \end{array}$$

3. Penjelasan Skema:

   • Angka 2 (koefisien $x^3$) diturunkan.
   • $2 \times (-3) = -6$. Letakkan -6 di bawah 5.
   • $5 + (-6) = -1$. Tulis -1 di baris hasil.
   • $-1 \times (-3) = 3$. Letakkan 3 di bawah 0.
   • $0 + 3 = 3$. Tulis 3 di baris hasil.
   • $3 \times (-3) = -9$. Letakkan -9 di bawah 6.
   • $6 + (-9) = -3$. Tulis -3 (sisa) di baris hasil paling kanan.

4. Hasil:

   • Angka terakhir di baris hasil adalah $\boxed{-3}$. Ini adalah Sisa Pembagian ($S$).
   • Angka-angka lainnya adalah 2, -1, 3. Ini adalah koefisien Hasil Bagi ($H(x)$). Karena $P(x)$ berderajat 3, maka $H(x)$ berderajat 2.
   • Jadi, $H(x) = 2x^2 - 1x + 3 = 2x^2 - x + 3$.

5. Penulisan Algoritma Pembagian:

   $$P(x) = (x-c) H(x) + S$$

   $$2x^3 + 5x^2 + 6 = (x+3)(2x^2 - x + 3) - 3$$

Latihan

Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian $x^4 + 4$ oleh $x - 1$ dengan menggunakan metode Horner dan pembagian bersusun.

Nyatakan hasilnya ke dalam bentuk $P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)$.

Kunci Jawaban

• Polinomial yang dibagi: $P(x) = x^4 + 4 = x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 4$.
• Pembagi: $Q(x) = x - 1$, maka $c = 1$.

Pembagian Bersusun:

Metode Horner:

Hasil:

• Hasil Bagi: $H(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.
• Sisa: $S = \boxed{5}$.

Penulisan Algoritma Pembagian: