Derajat Polinomial: Polinomial - Matematika (Kelas 11)

Memahami Derajat Monomial

Setiap monomial dalam polinomial memiliki karakteristik yang disebut derajat. Derajat ini ditentukan oleh pangkat (eksponen) dari variabel-variabelnya.

Derajat Monomial Satu Variabel

Jika monomial hanya memiliki satu variabel, seperti $ax^n$ , derajatnya adalah pangkat dari variabel tersebut, yaitu $n$ .

Contoh:

Monomial $4x^5$ memiliki derajat $5$ .
Monomial $0{,}12x$ (atau $0{,}12x^1$ ) memiliki derajat $1$ .

Derajat Monomial Banyak Variabel

Jika monomial memiliki lebih dari satu variabel, derajatnya adalah jumlah dari semua pangkat variabelnya.

Contoh:

Monomial $\frac{3}{4}x^2y^7$ memiliki derajat $2 + 7 = 9$ .
Monomial $2{,}17x^3yz^3$ (ingat $y = y^1$ ) memiliki derajat $3 + 1 + 3 = 7$ .

Derajat Konstanta

Bagaimana dengan konstanta (bilangan tanpa variabel), misalnya $5$ ? Konstanta tak nol dianggap memiliki derajat $0$ , karena kita bisa menuliskannya sebagai $5x^0$ (mengingat $x^0 = 1$ ).

Berikut rangkuman contoh derajat monomial dalam tabel:

Monomial	Derajat	Penjelasan
$4x^5$	$5$	Pangkat $x$ adalah $5$ .
$\frac{3}{4}x^2y^7$	$9$	Jumlah pangkat $2+7=9$ .
$0{,}12x$	$1$	Pangkat $x$ adalah $1$ .
$2{,}17x^3yz^3$	$7$	Jumlah pangkat $3+1+3=7$ .
$10$	$0$	Konstanta tak nol. Bisa ditulis $10x^0$ .

Definisi Derajat Monomial

Derajat suatu monomial (dengan koefisien tak nol) adalah jumlah dari eksponen semua variabelnya. Untuk monomial $ax^n$ , derajatnya adalah $n$ .

Menentukan Derajat Polinomial

Setelah kita tahu cara menentukan derajat setiap monomial (suku), menentukan derajat polinomial menjadi lebih mudah.

Derajat suatu polinomial adalah derajat tertinggi dari suku-suku (monomial) yang menyusun polinomial tersebut.

Langkah-langkah menentukan derajat polinomial:

Identifikasi semua suku (monomial) dalam polinomial.
Tentukan derajat dari setiap suku.
Pilih derajat tertinggi di antara semua suku tersebut. Itulah derajat polinomialnya.

Contoh $1$ :

Tentukan derajat dari polinomial berikut:

8x^3 - 36x^2 + 54x - 27

Suku $8x^3$ memiliki derajat $3$ .
Suku $-36x^2$ memiliki derajat $2$ .
Suku $54x$ (atau $54x^1$ ) memiliki derajat $1$ .
Suku $-27$ (konstanta) memiliki derajat $0$ .

Derajat tertinggi dari suku-sukunya adalah $3$ . Jadi, derajat polinomial tersebut adalah $3$ .

Contoh $2$ :

Tentukan derajat dari polinomial berikut:

5x^4y^2 + xy^2 - 2x^5y^6

Suku $5x^4y^2$ memiliki derajat $4 + 2 = 6$ .
Suku $xy^2$ (atau $x^1y^2$ ) memiliki derajat $1 + 2 = 3$ .
Suku $-2x^5y^6$ memiliki derajat $5 + 6 = 11$ .

Derajat tertinggi dari suku-sukunya adalah $11$ . Jadi, derajat polinomial tersebut adalah $11$ .

Contoh $3$ :

Tentukan derajat dari polinomial berikut:

0{,}13x^3 + 1{,}56x^2 - 2{,}24x + 1{,}72

Suku $0{,}13x^3$ derajat $3$ .
Suku $1{,}56x^2$ derajat $2$ .
Suku $-2{,}24x$ derajat $1$ .
Suku $1{,}72$ derajat $0$ .

Derajat tertinggi adalah $3$ . Jadi, derajat polinomial tersebut adalah $3$ .

Definisi Derajat Polinomial

Derajat suatu polinomial adalah derajat tertinggi dari suku-sukunya.

Bagaimana dengan Derajat Nol?

Apakah derajat dari $0$ adalah $0$ , karena $0$ bisa ditulis sebagai $0x^0$ ?

Secara umum dalam matematika:

Konstanta tak nol (seperti $5, -27, 1.72$ ) memiliki derajat $0$ .
Polinomial nol (yaitu angka $0$ itu sendiri) seringkali dianggap tidak memiliki derajat atau kadang disebut memiliki derajat negatif tak hingga ( $-\infty$ ). Alasannya sedikit rumit, tetapi intinya adalah agar sifat-sifat derajat (seperti derajat hasil kali dua polinomial) tetap konsisten.

Namun, untuk level SMA, memahami bahwa konstanta tak nol berderajat $0$ dan derajat polinomial adalah derajat suku tertingginya sudah cukup.

Memahami Derajat Monomial

Setiap monomial dalam polinomial memiliki karakteristik yang disebut derajat. Derajat ini ditentukan oleh pangkat (eksponen) dari variabel-variabelnya.

Derajat Monomial Satu Variabel

Jika monomial hanya memiliki satu variabel, seperti $ax^n$ , derajatnya adalah pangkat dari variabel tersebut, yaitu $n$ .

Contoh:

Monomial $4x^5$ memiliki derajat $5$ .
Monomial $0{,}12x$ (atau $0{,}12x^1$ ) memiliki derajat $1$ .

Derajat Monomial Banyak Variabel

Jika monomial memiliki lebih dari satu variabel, derajatnya adalah jumlah dari semua pangkat variabelnya.

Contoh:

Monomial $\frac{3}{4}x^2y^7$ memiliki derajat $2 + 7 = 9$ .
Monomial $2{,}17x^3yz^3$ (ingat $y = y^1$ ) memiliki derajat $3 + 1 + 3 = 7$ .

Derajat Konstanta

Bagaimana dengan konstanta (bilangan tanpa variabel), misalnya $5$ ? Konstanta tak nol dianggap memiliki derajat $0$ , karena kita bisa menuliskannya sebagai $5x^0$ (mengingat $x^0 = 1$ ).

Berikut rangkuman contoh derajat monomial dalam tabel:

Monomial	Derajat	Penjelasan
$4x^5$	$5$	Pangkat $x$ adalah $5$ .
$\frac{3}{4}x^2y^7$	$9$	Jumlah pangkat $2+7=9$ .
$0{,}12x$	$1$	Pangkat $x$ adalah $1$ .
$2{,}17x^3yz^3$	$7$	Jumlah pangkat $3+1+3=7$ .
$10$	$0$	Konstanta tak nol. Bisa ditulis $10x^0$ .

Definisi Derajat Monomial

Derajat suatu monomial (dengan koefisien tak nol) adalah jumlah dari eksponen semua variabelnya. Untuk monomial $ax^n$ , derajatnya adalah $n$ .

Menentukan Derajat Polinomial

Setelah kita tahu cara menentukan derajat setiap monomial (suku), menentukan derajat polinomial menjadi lebih mudah.

Derajat suatu polinomial adalah derajat tertinggi dari suku-suku (monomial) yang menyusun polinomial tersebut.

Langkah-langkah menentukan derajat polinomial:

Identifikasi semua suku (monomial) dalam polinomial.
Tentukan derajat dari setiap suku.
Pilih derajat tertinggi di antara semua suku tersebut. Itulah derajat polinomialnya.

Contoh $1$ :

Tentukan derajat dari polinomial berikut:

8x^3 - 36x^2 + 54x - 27

Suku $8x^3$ memiliki derajat $3$ .
Suku $-36x^2$ memiliki derajat $2$ .
Suku $54x$ (atau $54x^1$ ) memiliki derajat $1$ .
Suku $-27$ (konstanta) memiliki derajat $0$ .

Derajat tertinggi dari suku-sukunya adalah $3$ . Jadi, derajat polinomial tersebut adalah $3$ .

Contoh $2$ :

Tentukan derajat dari polinomial berikut:

5x^4y^2 + xy^2 - 2x^5y^6

Suku $5x^4y^2$ memiliki derajat $4 + 2 = 6$ .
Suku $xy^2$ (atau $x^1y^2$ ) memiliki derajat $1 + 2 = 3$ .
Suku $-2x^5y^6$ memiliki derajat $5 + 6 = 11$ .

Derajat tertinggi dari suku-sukunya adalah $11$ . Jadi, derajat polinomial tersebut adalah $11$ .

Contoh $3$ :

Tentukan derajat dari polinomial berikut:

0{,}13x^3 + 1{,}56x^2 - 2{,}24x + 1{,}72

Suku $0{,}13x^3$ derajat $3$ .
Suku $1{,}56x^2$ derajat $2$ .
Suku $-2{,}24x$ derajat $1$ .
Suku $1{,}72$ derajat $0$ .

Derajat tertinggi adalah $3$ . Jadi, derajat polinomial tersebut adalah $3$ .

Definisi Derajat Polinomial

Derajat suatu polinomial adalah derajat tertinggi dari suku-sukunya.

Bagaimana dengan Derajat Nol?

Apakah derajat dari $0$ adalah $0$ , karena $0$ bisa ditulis sebagai $0x^0$ ?

Secara umum dalam matematika:

Konstanta tak nol (seperti $5, -27, 1.72$ ) memiliki derajat $0$ .
Polinomial nol (yaitu angka $0$ itu sendiri) seringkali dianggap tidak memiliki derajat atau kadang disebut memiliki derajat negatif tak hingga ( $-\infty$ ). Alasannya sedikit rumit, tetapi intinya adalah agar sifat-sifat derajat (seperti derajat hasil kali dua polinomial) tetap konsisten.

Namun, untuk level SMA, memahami bahwa konstanta tak nol berderajat $0$ dan derajat polinomial adalah derajat suku tertingginya sudah cukup.