Identitas Polinomial

Apa Itu Identitas Polinomial?

Pernahkah kamu melihat persamaan matematika yang selalu benar, tidak peduli berapa pun nilai variabel yang kita masukkan? Itulah yang disebut identitas. Nah, Identitas Polinomial adalah identitas yang melibatkan bentuk polinomial.

Berbeda dengan persamaan biasa yang hanya benar untuk nilai variabel tertentu (misalnya, $x + 2 = 5$ hanya benar jika $x=3$), identitas polinomial berlaku untuk semua kemungkinan nilai variabel.

Identitas Polinomial yang Sering Digunakan

Berikut adalah beberapa contoh identitas polinomial yang penting dan sering muncul:

Identitas ini sangat berguna untuk menyederhanakan atau memfaktorkan ekspresi polinomial.

Membuktikan Suatu Persamaan adalah Identitas

Bagaimana cara kita tahu kalau suatu persamaan itu benar-benar identitas atau bukan?

1. Cara Membuktikan (Jika BENAR identitas):

   Kita harus menunjukkan bahwa bentuk di ruas kiri persamaan selalu sama dengan bentuk di ruas kanan setelah disederhanakan. Caranya adalah dengan menguraikan salah satu ruas (biasanya yang lebih kompleks) menggunakan operasi aljabar sampai bentuknya sama persis dengan ruas lainnya.

2. Cara Membuktikan (Jika BUKAN identitas):

   Cukup temukan satu contoh nilai variabel yang membuat ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan. Jika kita bisa menemukan satu saja nilai yang membuat persamaan itu salah, maka persamaan itu bukanlah identitas.

Pembuktian Identitas

Buktikan apakah persamaan berikut merupakan identitas polinomial atau bukan.

1. $(2x^2 - y^2)^2 = 4x^4 - 4x^2y^2 + y^4$
2. $(2a - 5)(2a + 5) = 4a^2 - 20a + 25$

Penyelesaian:

1. Kita akan uraikan ruas kiri menggunakan identitas $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$, dengan $A = 2x^2$ dan $B = y^2$.

   $$(2x^2 - y^2)^2 = (2x^2)^2 - 2(2x^2)(y^2) + (y^2)^2$$

   $$= 4x^4 - 4x^2y^2 + y^4$$

   Karena hasil penguraian ruas kiri ($4x^4 - 4x^2y^2 + y^4$) sama persis dengan ruas kanan, maka persamaan ini terbukti merupakan identitas polinomial.

2. Kita coba masukkan satu nilai variabel, misalnya $a = 0$, ke kedua ruas.

   • Ruas Kiri:

     $$(2a - 5)(2a + 5) = (2(0) - 5)(2(0) + 5)$$

     $$= (0 - 5)(0 + 5)$$

     $$= (-5)(5)$$

     $$= -25$$

   • Ruas Kanan:

     $$4a^2 - 20a + 25 = 4(0)^2 - 20(0) + 25$$

     $$= 4(0) - 0 + 25$$

     $$= 0 - 0 + 25$$

     $$= 25$$

   Karena untuk $a = 0$, ruas kiri ($-25$) tidak sama dengan ruas kanan ($25$), maka persamaan ini bukan merupakan identitas polinomial.

   Sebenarnya, identitas yang benar untuk $(2a-5)(2a+5)$ adalah $(2a)^2 - 5^2 = 4a^2 - 25$, menggunakan identitas $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$.

Latihan

Buktikan apakah setiap persamaan polinomial berikut merupakan identitas polinomial atau bukan.

1. $(2m - 3)^3 = 8m^3 - 27$
2. $(2x - 3)^2 + 5 = 4x^2 - 12x + 14$

Kunci Jawaban

1. Kita uji dengan nilai $m = 1$.

   • Ruas Kiri:

     $$(2m - 3)^3 = (2(1) - 3)^3$$

     $$= (2 - 3)^3$$

     $$= (-1)^3$$

     $$= -1$$

   • Ruas Kanan:

     $$8m^3 - 27 = 8(1)^3 - 27$$

     $$= 8(1) - 27$$

     $$= 8 - 27$$

     $$= -19$$

   Karena untuk $m=1$, ruas kiri ($-1$) $\neq$ ruas kanan ($-19$), maka persamaan ini bukan identitas polinomial.

   Identitas yang benar adalah $(2m-3)^3 = (2m)^3 - 3(2m)^2(3) + 3(2m)(3)^2 - 3^3 = 8m^3 - 36m^2 + 54m - 27$.

2. Kita uraikan ruas kiri menggunakan identitas $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$, dengan $A = 2x$ dan $B = 3$.

   $$(2x - 3)^2 + 5 = [(2x)^2 - 2(2x)(3) + (3)^2] + 5$$

   $$= [4x^2 - 12x + 9] + 5$$

   $$= 4x^2 - 12x + 9 + 5$$

   $$= 4x^2 - 12x + 14$$

   Karena hasil penguraian ruas kiri ($4x^2 - 12x + 14$) sama persis dengan ruas kanan, maka persamaan ini terbukti merupakan identitas polinomial.