Faktorisasi Penuh Polinomial

Memahami Faktorisasi Penuh

Kita telah belajar memfaktorkan polinomial, misalnya menggunakan Teorema Faktor. Namun, terkadang hasil pemfaktoran masih menyisakan faktor yang bukan linier (seperti faktor kuadrat) yang tidak dapat difaktorkan lebih lanjut menggunakan bilangan real.

Faktorisasi Penuh (atau Faktorisasi Linier Penuh) adalah proses memfaktorkan suatu polinomial hingga menjadi perkalian faktor-faktor linier, di mana faktor-faktor ini bisa melibatkan bilangan kompleks.

Konsep ini didasarkan pada Teorema Fundamental Aljabar yang menyatakan bahwa setiap polinomial berderajat $n \ge 1$ memiliki tepat $n$ akar (pembuat nol) dalam himpunan bilangan kompleks (termasuk akar real dan akar yang berulang).

Sifat Faktorisasi Penuh Polinomial

Jika $P(x)$ adalah polinomial berderajat $n \ge 1$ dengan koefisien utama $a_n \neq 0$, maka ada bilangan-bilangan kompleks $c_1, c_2, \dots, c_n$ (yang merupakan akar-akar dari $P(x)$) sedemikian sehingga:

Artinya, setiap polinomial berderajat $n$ dapat dipecah menjadi tepat $n$ faktor linier $(x - \text{akar})$ dikalikan dengan koefisien utamanya.

Langkah-langkah Faktorisasi Penuh

Untuk melakukan faktorisasi penuh suatu polinomial $P(x)$:

1. Cari Semua Akar Kompleks: Temukan semua $n$ akar (pembuat nol) kompleks dari $P(x) = 0$. Ini mungkin melibatkan:

   • Memfaktorkan secara langsung (grouping, dll.).
   • Menggunakan Teorema Pembuat Nol Rasional untuk menemukan akar rasional.
   • Menggunakan pembagian (Horner/bersusun) untuk menurunkan derajat polinomial setelah satu akar ditemukan.
   • Menyelesaikan persamaan kuadrat (dengan rumus kuadratik) yang mungkin menghasilkan akar kompleks $a \pm bi$.

2. Terapkan Teorema Faktor: Untuk setiap akar $c_i$ yang ditemukan, bentuk faktor liniernya, yaitu $(x - c_i)$.

3. Tulis Faktorisasi Penuh: Kalikan semua faktor linier yang didapat dengan koefisien utama $a_n$ dari $P(x)$.

   $$P(x) = a_n(x - c_1)(x - c_2)\dots(x - c_n)$$

Menggunakan Faktorisasi Penuh

Tentukan semua pembuat nol kompleks dari $P(x) = x^3 - x^2 + x - 1$ dan faktorkan polinomial tersebut secara penuh.

Penyelesaian:

1. Cari Akar: Kita coba faktorkan $P(x)$ terlebih dahulu.

   • Faktorkan dengan pengelompokan (grouping):

     $$P(x) = (x^3 - x^2) + (x - 1)$$

     $$P(x) = x^2(x - 1) + 1(x - 1)$$

     $$P(x) = (x^2 + 1)(x - 1)$$

   • Sekarang, cari akar dengan menyetarakan $P(x) = 0$:

     $$(x^2 + 1)(x - 1) = 0$$

   • Ini memberikan dua kemungkinan:

     • $x - 1 = 0 \implies x = 1$
     • $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1 \implies x = \pm\sqrt{-1} \implies x = \pm i$

   Jadi, akar-akar kompleksnya adalah $1, i, -i$.

2. Bentuk Faktor Linier:

   • Dari akar $1$, faktornya $(x - 1)$.
   • Dari akar $i$, faktornya $(x - i)$.
   • Dari akar $-i$, faktornya $(x - (-i)) = (x + i)$.

3. Tulis Faktorisasi Penuh:

   Koefisien utama $P(x)$ adalah $a_3 = 1$.

   $$P(x) = 1 \cdot (x - 1)(x - i)(x + i)$$

   $$P(x) = (x - 1)(x - i)(x + i)$$

Latihan

Tentukan semua pembuat nol kompleks dari $P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5$, kemudian faktorkan $P(x)$ tersebut secara penuh.

Kunci Jawaban

1. Cari Akar Rasional (Teorema Pembuat Nol Rasional):

   • $a_0 = 5$, faktor $p$: $\pm 1, \pm 5$.

   • $a_n = 1$, faktor $q$: $\pm 1$.

   • Kemungkinan akar $p/q$: $\pm 1, \pm 5$.

   • Uji $x = -1$:

     $$P(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) + 5 = -1 - 3(1) - 1 + 5 = -1 - 3 - 1 + 5 = 0$$

     Jadi, $x = -1$ adalah akar, dan $(x+1)$ adalah faktor.

2. Bagi dengan Horner ($c = -1$):

   $$\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & -3 & 1 & 5 \\ & & -1 & 4 & -5 \\ \hline & 1 & -4 & 5 & \boxed{0} \\ \end{array}$$

   Hasil bagi $H(x) = x^2 - 4x + 5$.

   $P(x) = (x+1)(x^2 - 4x + 5)$.

3. Cari Akar dari Hasil Bagi: Selesaikan $x^2 - 4x + 5 = 0$ dengan rumus kuadratik.

   $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}$$

   $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$$

   $$x = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2}$$

   $$x = \frac{4 \pm 2i}{2}$$

   $$x = 2 \pm i$$

   Akar lainnya adalah $2 + i$ dan $2 - i$.

4. Semua Akar Kompleks: Akar-akarnya adalah $-1, 2+i, 2-i$.

5. Faktorisasi Penuh ($a_n = 1$):

   $$P(x) = 1 \cdot (x - (-1))(x - (2+i))(x - (2-i))$$

   $$P(x) = (x + 1)(x - 2 - i)(x - 2 + i)$$

Pasangan Akar Konjugat Kompleks

Sebuah pertanyaan penting muncul: Apakah mungkin suatu polinomial yang semua koefisien dan konstantanya berupa bilangan real memiliki tepat satu pembuat nol bilangan kompleks yang bukan bilangan real?

Jawabannya adalah tidak mungkin.

Ini disebabkan oleh sifat pasangan akar konjugat. Jika sebuah polinomial memiliki koefisien-koefisien real, maka akar-akar kompleks non-realnya ($a + bi$ dengan $b \neq 0$) selalu muncul dalam pasangan konjugat.

Artinya, jika $a + bi$ adalah akar, maka konjugatnya, $a - bi$, juga pasti merupakan akar dari polinomial tersebut.

Oleh karena itu, akar kompleks non-real tidak bisa muncul sendirian; mereka selalu datang berpasangan. Jadi, tidak mungkin ada tepat satu akar kompleks non-real untuk polinomial berkoefisien real.