Definisi Lingkaran

Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan semua titik pada bidang yang memiliki jarak yang sama terhadap satu titik tetap. Titik tetap ini kita sebut pusat lingkaran, sedangkan jarak yang sama dari pusat ke setiap titik pada lingkaran disebut jari-jari.

Bayangkan kamu mengikat tali pada sebuah paku, lalu menarik tali tersebut hingga tegang dan menggambar lengkungan penuh di sekitar paku. Lengkungan yang terbentuk itulah yang kita sebut lingkaran, paku adalah pusatnya, dan panjang tali adalah jari-jarinya.

Dalam visualisasi di atas, titik P adalah pusat lingkaran, sedangkan titik A, B, dan C adalah beberapa titik yang berada pada lingkaran. Coba perhatikan bahwa jarak dari P ke A, P ke B, dan P ke C semuanya sama dengan $r$. Ini yang membuat mereka semua berada di lingkaran yang sama.

Definisi Matematis

Nah, sekarang kita bikin definisi yang lebih formal. Secara matematis, lingkaran dengan pusat $P(a, b)$ dan jari-jari $r$ adalah himpunan semua titik $(x, y)$ yang memenuhi kondisi:

Di mana $d(P, (x,y))$ adalah jarak dari titik pusat P ke titik $(x, y)$ pada lingkaran.

Kalau kita pakai rumus jarak dalam sistem koordinat Kartesius, bisa kita tulis seperti ini:

Persamaan Lingkaran

Dari definisi matematis tadi, kita bisa menurunkan persamaan lingkaran dengan cara mengkuadratkan kedua ruas:

Inilah persamaan umum lingkaran dengan pusat $(a, b)$ dan jari-jari $r$. Formula ini sangat berguna untuk menentukan apakah suatu titik berada di dalam, di luar, atau tepat pada lingkaran.

Untuk lingkaran pada visualisasi di atas, persamaannya adalah:

Bentuk Khusus Persamaan Lingkaran

Ada satu kasus khusus yang menarik. Ketika pusat lingkaran berada di titik asal $(0, 0)$, persamaan lingkaran jadi lebih sederhana:

Bentuk ini sangat praktis karena lebih mudah dihitung dan dipahami.

Unsur Penting Lingkaran

Ada beberapa istilah penting yang perlu kamu pahami dulu:

1. Pusat lingkaran adalah titik tetap yang jadi patokan untuk semua titik pada lingkaran. Semua titik pada lingkaran punya jarak yang sama ke pusat ini.

2. Jari-jari adalah jarak dari pusat lingkaran ke titik mana pun pada lingkaran. Dalam satu lingkaran, semua jari-jari panjangnya sama.

3. Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melewati pusat. Panjang diameter selalu dua kali panjang jari-jari, atau $d = 2r$.

Supaya lebih mudah dipahami, kita bisa lihat visualisasi di bawah ini:

Contoh Penerapan

Sekarang kita coba terapkan definisi lingkaran untuk menentukan persamaan lingkaran.

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(3, -2)$ dengan jari-jari 5.

Penyelesaian: Kita tinggal pakai rumus umum persamaan lingkaran dengan pusat $(a, b)$ dan jari-jari $r$:

Jadi persamaan lingkarannya adalah $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$.