Binomial Newton

Apa itu Binomial Newton?

Pernahkah kamu bertanya-tanya bagaimana cara cepat menghitung hasil dari $(x + y)^{10}$ tanpa harus mengalikan berkali-kali? Binomial Newton adalah teknik matematika yang memungkinkan kita mengembangkan bentuk $(x + y)^n$ menjadi penjumlahan suku-suku yang lebih sederhana.

Bayangkan seperti membuka kemasan hadiah berlapis. Setiap lapisan yang kita buka akan mengungkap pola tertentu yang konsisten dan dapat diprediksi. Begitu juga dengan binomial Newton, setiap pangkat memiliki pola koefisien yang unik namun dapat dihitung dengan rumus yang sama.

Mari kita lihat pola dasar untuk beberapa pangkat pertama:

Dari pola ini, kita dapat melihat bahwa setiap suku memiliki koefisien tertentu yang mengikuti aturan matematika yang jelas.

Rumus Umum dan Koefisien Binomial

Rumus umum binomial Newton dapat ditulis sebagai:

Di mana $\binom{n}{k}$ adalah koefisien binomial yang dihitung dengan rumus:

Koefisien binomial ini juga dikenal sebagai "n pilih k" karena menunjukkan berapa banyak cara memilih k objek dari n objek yang tersedia.

Bentuk ekspansi lengkap dapat ditulis sebagai:

Setiap suku dalam ekspansi memiliki struktur $\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$ di mana pangkat $x$ dan $y$ selalu berjumlah $n$.

Mencari Koefisien Tertentu

Salah satu aplikasi penting binomial Newton adalah mencari koefisien suku tertentu tanpa harus mengembangkan seluruh ekspansi.

Misalkan kita ingin mencari koefisien dari $x^2$ dalam ekspansi $(1 - x)^{2014}$.

Pertama, kita tulis ulang dalam bentuk binomial standar dengan $a = 1$, $b = -x$, dan $n = 2014$:

Untuk mendapat suku yang mengandung $x^2$, kita perlu $k = 2$:

Menghitung koefisien binomial:

Jadi, koefisien dari $x^2$ adalah $2{,}026{,}591$.

Mencari Suku Konstanta

Suku konstanta adalah suku yang tidak mengandung variabel apapun. Untuk menemukannya, kita perlu mengidentifikasi suku di mana pangkat semua variabel sama dengan nol.

Contoh: Tentukan suku konstanta dari $\left(3x^3 - \frac{2}{x}\right)^8$.

Kita tulis dalam bentuk binomial dengan $a = 3x^3$ dan $b = -\frac{2}{x}$:

Suku umum adalah:

Untuk suku konstanta, pangkat $x$ harus nol:

Substitusi $k = 6$:

Perhatikan bahwa $(-2)^6 = 64$ karena pangkat genap selalu menghasilkan nilai positif, sama seperti $(+2)^6 = 64$.

Jadi, suku konstanta adalah $16{,}128$.

Strategi Penyelesaian Masalah

Saat menghadapi soal binomial Newton, ikuti langkah sistematis berikut:

1. Identifikasi komponen dalam bentuk $(a + b)^n$ dan tentukan nilai a, b, dan n dengan jelas.

2. Tentukan jenis suku yang dicari, apakah koefisien tertentu, suku konstanta, atau suku dengan pangkat tertentu.

3. Gunakan rumus suku umum $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ dan sesuaikan dengan kondisi yang diminta.

4. Hitung dengan teliti nilai koefisien binomial dan operasi aritmatika lainnya.

Contoh Penerapan Strategi:

Tentukan koefisien dari $x^5$ dalam ekspansi $(2x + 3)^8$.

1. Identifikasi komponen

   Dari $(2x + 3)^8$, kita peroleh:

   • $a = 2x$
   • $b = 3$
   • $n = 8$

2. Tentukan jenis suku

   Kita mencari koefisien dari suku yang mengandung $x^5$.

3. Gunakan rumus suku umum

   Suku umum: $\binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k$

   Ekspansi suku umum:

   $$\binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k = \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{8-k} \cdot 3^k = \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot 3^k \cdot x^{8-k}$$

   Untuk mendapat $x^5$, perlu $8-k = 5$, sehingga $k = 3$.

4. Hitung dengan teliti

   Substitusi $k = 3$:

   $$\binom{8}{3} \cdot 2^{8-3} \cdot 3^3 \cdot x^5 = \binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot 3^3 \cdot x^5$$

   $$= \frac{8!}{3! \cdot 5!} \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5$$

   $$= \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5$$

   $$= 56 \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5$$

   $$= 1{,}792 \cdot 27 \cdot x^5 = 48{,}384x^5$$

   Jadi, koefisien dari $x^5$ adalah $48{,}384$.

Ingatlah bahwa setiap suku dalam ekspansi binomial memiliki total pangkat yang sama dengan pangkat awal, dan koefisien binomial selalu simetris: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.

Latihan

1. Tentukan koefisien dari $x^4$ dalam ekspansi $(2x - 3)^7$.

2. Hitunglah suku konstanta dari $\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^9$.

3. Dalam ekspansi $(1 + 2x)^{10}$, tentukan suku yang mengandung $x^3$.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Tulis dalam bentuk binomial dengan $a = 2x$, $b = -3$, dan $n = 7$.

   Suku umum: $\binom{7}{k} (2x)^{7-k} (-3)^k = \binom{7}{k} \cdot 2^{7-k} \cdot (-3)^k \cdot x^{7-k}$

   Untuk koefisien $x^4$, perlu $7-k = 4$, sehingga $k = 3$.

   $$\binom{7}{3} \cdot 2^{7-3} \cdot (-3)^3 = \binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-3)^3$$

   $$= \frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot 16 \cdot (-27)$$

   $$= \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \cdot 16 \cdot (-27)$$

   $$= 35 \cdot 16 \cdot (-27) = 560 \cdot (-27) = -15{,}120$$

   Jadi, koefisien dari $x^4$ adalah $-15{,}120$.

2. Penyelesaian:

   Tulis dalam bentuk binomial dengan $a = x^2$, $b = \frac{1}{x}$, dan $n = 9$.

   $$\text{Suku umum: } \binom{9}{k} (x^2)^{9-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = \binom{9}{k} \cdot x^{2(9-k)} \cdot x^{-k}$$

   $$= \binom{9}{k} \cdot x^{18-2k} \cdot x^{-k} = \binom{9}{k} \cdot x^{18-2k-k} = \binom{9}{k} \cdot x^{18-3k}$$

   Untuk suku konstanta, pangkat $x$ harus nol: $18-3k = 0$, sehingga $k = 6$.

   $$\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$$

   Jadi, suku konstanta adalah $84$.

3. Penyelesaian:

   Tulis dalam bentuk binomial dengan $a = 1$, $b = 2x$, dan $n = 10$.

   Suku umum: $\binom{10}{k} (1)^{10-k} (2x)^k = \binom{10}{k} \cdot 2^k \cdot x^k$

   Untuk suku yang mengandung $x^3$, perlu $k = 3$.

   $$\binom{10}{3} \cdot 2^3 \cdot x^3 = 120 \cdot 8 \cdot x^3 = 960x^3$$

   Jadi, suku yang mengandung $x^3$ adalah $960x^3$.