Persamaan Lingkaran

Memahami Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran adalah formula matematika yang menggambarkan semua titik yang membentuk lingkaran pada bidang koordinat. Bayangkan kamu punya kompas dan ingin menggambar lingkaran di kertas berkoordinat. Nah, persamaan lingkaran ini yang memberitahu kita koordinat mana saja yang akan dilalui ujung pensil kompas tersebut.

Kenapa ini berguna? Karena dengan mengetahui persamaan lingkaran, kita bisa langsung tahu di mana pusat lingkaran berada dan berapa jari-jarinya tanpa harus menggambar lingkarannya dulu.

Lingkaran Berpusat di Titik Asal

Kita mulai dari kasus yang paling gampang dulu ya: lingkaran yang pusatnya ada di titik asal $O(0,0)$.

Kalau kita punya lingkaran dengan pusat di $O(0,0)$ dan jari-jari $r$, maka setiap titik $(x,y)$ pada lingkaran tersebut punya jarak yang sama dari pusat, yaitu sebesar $r$.

Pakai rumus jarak, kita dapatkan:

Kalau kita kuadratkan kedua ruas, daperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di titik asal:

Coba kita visualisasi dulu ya.

Untuk lingkaran di atas, persamaannya adalah $x^2 + y^2 = 9$ karena jari-jarinya 3, jadi $r^2 = 3^2 = 9$.

Lingkaran dengan Pusat Sembarang

Sekarang gimana kalau pusatnya bukan di titik asal? Misalnya pusat lingkaran ada di titik $P(a,b)$ dengan jari-jari $r$.

Setiap titik $(x,y)$ pada lingkaran ini harus punya jarak yang sama dengan $r$ dari pusat $P(a,b)$. Pakai rumus jarak:

Setelah dikuadratkan, kita peroleh persamaan umum lingkaran:

Kalau kita visualisasi, maka akan terlihat seperti ini:

Persamaan lingkaran di atas adalah $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 4$ karena pusatnya $P(2,-1)$ dan jari-jarinya 2, jadi $r^2 = 2^2 = 4$.

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Kadang kita nemuin persamaan lingkaran yang udah dikembangkan jadi bentuk umum. Misalnya dari persamaan $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$, kalau kita kembangkan:

Bentuk terakhir ini disebut bentuk umum persamaan lingkaran:

Kalau kita punya persamaan dalam bentuk umum, kita bisa ubah lagi ke bentuk baku dengan teknik melengkapkan kuadrat sempurna.

Tidak semua persamaan berbentuk $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ itu persamaan lingkaran lho. Syaratnya adalah $D^2 + E^2 - 4F > 0$. Kalau nilai ini nol, maka cuma berupa satu titik aja, dan kalau negatif, berarti ga ada kurva sama sekali.

Menentukan Pusat dan Jari-jari

Dari bentuk baku $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, kita langsung bisa tau:

Pusat lingkarannya di $(a,b)$ dan jari-jarinya $r$ (yang didapat dari $r = \sqrt{r^2}$).

Sedangkan dari bentuk umum $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, kita bisa tentukan:

Latihan

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(3,-2)$ dengan jari-jari 5.

2. Diketahui lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.

3. Sebuah lingkaran melalui titik $(6,-8)$ dan berpusat di $O(0,0)$. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

4. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter dengan ujung-ujung di $A(1,3)$ dan $B(7,-1)$.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Diketahui pusat $(a,b) = (3,-2)$ dan jari-jari $r = 5$.

   Pakai rumus persamaan lingkaran:

   $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$

   $$(x-3)^2 + (y-(-2))^2 = 5^2$$

   $$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$$

   Jadi persamaan lingkarannya adalah $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$.

2. Penyelesaian:

   Dari persamaan $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$, kita identifikasi koefisien:

   $D = -6$, $E = 4$, $F = -12$

   $$\text{Pusat: } \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) = \left(-\frac{(-6)}{2}, -\frac{4}{2}\right) = (3, -2)$$

   $$r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F} = \frac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + 4^2 - 4(-12)}$$

   $$r = \frac{1}{2}\sqrt{36 + 16 + 48} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = \frac{1}{2} \times 10 = 5$$

   Jadi pusat lingkaran di $(3,-2)$ dengan jari-jari 5.

3. Penyelesaian:

   Karena lingkaran berpusat di $O(0,0)$ dan melalui titik $(6,-8)$, maka jari-jarinya adalah jarak dari pusat ke titik tersebut.

   $$r = \sqrt{(6-0)^2 + (-8-0)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

   Persamaan lingkarannya: $x^2 + y^2 = r^2 = 10^2 = 100$

4. Penyelesaian:

   Pusat lingkaran adalah titik tengah dari diameter $AB$:

   $$\text{Pusat} = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{1+7}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{2}{2}\right) = (4, 1)$$

   Jari-jari adalah setengah panjang diameter:

   $$\text{Panjang } AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} = \sqrt{(7-1)^2 + (-1-3)^2}$$

   $$= \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}$$

   $$r = \frac{\text{diameter}}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$$

   Persamaan lingkarannya: $(x-4)^2 + (y-1)^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$