Parabola

Mengenal Parabola

Pernahkah kamu melempar bola basket ke ring? Atau melihat air mancur yang menyembur ke udara? Lintasan yang terbentuk dari gerakan-gerakan ini membentuk kurva yang sangat istimewa dalam matematika, yaitu parabola.

Parabola bukan sekadar kurva biasa. Bentuknya yang unik membuatnya sangat berguna dalam kehidupan nyata. Antena satelit berbentuk parabola untuk menangkap sinyal, lampu sorot menggunakan reflektor parabola untuk memfokuskan cahaya, bahkan jembatan dan arsitektur modern sering menggunakan lengkungan parabola karena kekuatannya.

Yang menarik dari parabola adalah sifat refleksinya yang sempurna. Semua sinar yang datang sejajar dengan sumbu parabola akan dipantulkan menuju satu titik yang disebut fokus. Inilah mengapa parabola sangat efektif untuk mengumpulkan atau memancarkan energi.

Parabola

y = ax^2

dalam Kehidupan Nyata

Visualisasi parabola dengan fokus di

F(0, \frac{1}{4a})

dan direktriks

y = -\frac{1}{4a}

Definisi Matematika

Secara matematis, parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap sebuah titik tetap dan sebuah garis tetap. Titik tetap itu disebut fokus, sedangkan garis tetapnya disebut direktriks.

Bayangkan kamu punya satu titik (fokus) dan satu garis lurus (direktriks). Sekarang cari semua titik yang jaraknya ke fokus sama dengan jaraknya ke garis direktriks. Kumpulan titik-titik itulah yang membentuk parabola!

Definisi ini memberikan kita cara yang sistematis untuk memahami parabola. Tidak peduli bagaimana orientasi atau posisinya, selama memenuhi syarat jarak yang sama ke fokus dan direktriks, maka itu adalah parabola.

Sifat unik parabola ini membuat semua titik pada kurva memiliki "keseimbangan" jarak yang sempurna antara fokus dan direktriks.

Persamaan Parabola Standar

Mari kita mulai dengan parabola yang paling sederhana: parabola dengan puncak di titik asal $O(0,0)$ . Ada empat bentuk dasar parabola standar tergantung arah bukaan kurva.

Empat Bentuk Parabola Standar dengan Puncak

O(0,0)

Parabola standar

x^2 = 4py

(vertikal) dan

y^2 = 4px

(horizontal).

Keempat bentuk persamaan parabola standar adalah:

y^2 = 4px \quad \text{(terbuka ke kanan)}

y^2 = -4px \quad \text{(terbuka ke kiri)}

x^2 = 4py \quad \text{(terbuka ke atas)}

x^2 = -4py \quad \text{(terbuka ke bawah)}

Nilai $p$ dalam persamaan ini menunjukkan jarak dari puncak ke fokus. Semakin besar nilai $p$ , semakin "terbuka" parabola tersebut.

Sebagai contoh, untuk parabola $y^2 = 4px$ (terbuka ke kanan):

\text{Puncak: } (0, 0)

\text{Fokus: } (p, 0)

\text{Direktriks: } x = -p

\text{Sumbu simetri: sumbu } X

Ingat bahwa tanda $p$ menentukan arah bukaan: positif untuk kanan/atas, negatif untuk kiri/bawah.

Parabola dengan Puncak Sembarang

Dalam aplikasi nyata, parabola tidak selalu berpusat di titik asal. Parabola bisa memiliki puncak di titik mana saja $(h, k)$ . Ini adalah bentuk umum parabola.

Parabola

(x-h)^2 = 4p(y-k)

dengan Puncak

(h,k)

Parabola dengan puncak di

(2, 1)

dan parameter

p = 0.5

Bentuk umum persamaan parabola dengan puncak di $(h, k)$ :

(y-k)^2 = 4p(x-h) \quad \text{(horizontal)}

(x-h)^2 = 4p(y-k) \quad \text{(vertikal)}

Untuk parabola vertikal $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ :

\text{Puncak: } (h, k)

\text{Fokus: } (h, k+p)

\text{Direktriks: } y = k-p

\text{Sumbu simetri: } x = h

Untuk parabola horizontal $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ :

\text{Puncak: } (h, k)

\text{Fokus: } (h+p, k)

\text{Direktriks: } x = h-p

\text{Sumbu simetri: } y = k

Tanda nilai $p$ menentukan arah bukaan parabola. Positif untuk ke atas/kanan, negatif untuk ke bawah/kiri.

Menentukan Unsur Parabola

Ketika kita diberikan persamaan parabola, kita bisa mengidentifikasi semua unsur pentingnya dengan cara sistematis. Langkah pertama adalah mengenali orientasi parabola:

Jika variabel $x$ yang dikuadratkan → parabola vertikal (terbuka ke atas/bawah)
Jika variabel $y$ yang dikuadratkan → parabola horizontal (terbuka ke kiri/kanan)

Mari kita lihat bagaimana caranya dengan contoh.

Contoh: Diberikan parabola dengan persamaan $x^2 - 4x - 8y + 12 = 0$

Langkah pertama adalah mengubah ke bentuk baku dengan melengkapkan kuadrat sempurna:

x^2 - 4x - 8y + 12 = 0

x^2 - 4x = 8y - 12

x^2 - 4x + 4 = 8y - 12 + 4

(x-2)^2 = 8y - 8

(x-2)^2 = 8(y-1)

Dari bentuk $(x-2)^2 = 8(y-1)$ , kita identifikasi:

$h = 2$ , $k = 1$
$4p = 8$ , sehingga $p = 2$

Maka unsur-unsur parabola adalah:

Analisis Parabola

(x-2)^2 = 8(y-1)

Identifikasi puncak

(2,1)

, fokus

(2,3)

, direktriks

y = -1

, dan

p = 2

Dari analisis ini kita dapatkan:

\text{Puncak: } (2, 1)

\text{Fokus: } (2, 3)

\text{Direktriks: } y = -1

\text{Sumbu simetri: } x = 2

\text{Arah bukaan: ke atas (karena } p = 2 > 0\text{)}

Contoh Soal

Mari kita kerjakan beberapa soal untuk memperdalam pemahaman tentang parabola.

Soal 1: Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak di $(1, -2)$ dan fokus di $(4, -2)$ .

Penyelesaian:

Karena puncak dan fokus memiliki ordinat yang sama, parabola ini horizontal.

\text{Puncak: } (h, k) = (1, -2)

\text{Fokus: } (h+p, k) = (4, -2)

Dari kondisi fokus, kita dapat $h + p = 4$ . Substitusi $h = 1$ :

1 + p = 4 \Rightarrow p = 3

Persamaan parabola horizontal adalah $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ :

(y-(-2))^2 = 4(3)(x-1)

(y+2)^2 = 12(x-1)

Soal 2: Parabola $y^2 - 6y - 4x + 13 = 0$ . Tentukan koordinat puncak dan fokusnya.

Penyelesaian:

Lengkapkan kuadrat sempurna untuk variabel $y$ :

y^2 - 6y - 4x + 13 = 0

y^2 - 6y = 4x - 13

y^2 - 6y + 9 = 4x - 13 + 9

(y-3)^2 = 4x - 4

(y-3)^2 = 4(x-1)

Dari bentuk $(y-3)^2 = 4(x-1)$ , kita identifikasi:

h = 1, \quad k = 3

4p = 4 \Rightarrow p = 1

Sehingga:

\text{Puncak: } (h, k) = (1, 3)

\text{Fokus: } (h+p, k) = (1+1, 3) = (2, 3)

Command Palette

Mengenal Parabola

Definisi Matematika

Persamaan Parabola Standar

Parabola dengan Puncak Sembarang

Menentukan Unsur Parabola

Contoh Soal