Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Menguak Misteri Garis Singgung

Pernahkah kamu memperhatikan bagaimana roda sepeda bergerak di jalan? Saat roda berputar, ada satu titik di tepi roda yang selalu menyentuh aspal dengan sempurna. Nah, bayangkan kalau kita bisa menarik garis lurus dari titik sentuh itu - itulah yang disebut garis singgung!

Berbeda dengan sekadar menentukan posisi atau kedudukan garis, kali ini kita akan menyelami lebih dalam: bagaimana cara menemukan persamaan matematika eksplisit dari garis singgung tersebut. Ini seperti mencari kode rahasia yang menggambarkan jalur tepat yang harus dilalui garis agar menyentuh lingkaran dengan sempurna.

Kemampuan menentukan persamaan garis singgung sangat berguna dalam rekayasa, fisika, dan bahkan seni. Bayangkan seorang arsitek yang merancang lengkungan jembatan, atau insinyur yang menghitung lintasan proyektil.

Substitusi untuk Titik Tertentu

Ketika kita sudah tahu titik mana di lingkaran yang akan disentuh garis singgung, pekerjaan kita menjadi lebih terarah. Mari kita lihat pendekatan sistematis untuk kasus ini.

Garis Singgung pada Titik Tertentu

Mengkonstruksi persamaan garis singgung ketika titik sentuhnya sudah diketahui.

Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ dengan titik singgung $M(p, q)$ , kita menggunakan rumus substitusi langsung:

px + qy = r^2

Kenapa rumus ini bekerja? Karena garis singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari di titik singgung. Jika jari-jari memiliki arah vektor $(p, q)$ , maka garis singgung memiliki vektor normal yang sama, yaitu $(p, q)$ .

Untuk lingkaran umum $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ dengan titik singgung $M(p, q)$ , rumusnya menjadi:

(p-h)(x-h) + (q-k)(y-k) = r^2

Keunggulan metode ini adalah kecepatan dan akurasi. Kita tidak perlu menghitung gradien secara terpisah atau melakukan manipulasi aljabar yang rumit.

Pendekatan Jarak untuk Gradien Tertentu

Sekarang kita beralih ke kasus yang lebih menantang: mencari persamaan garis singgung ketika hanya gradiennya yang diketahui. Di sini kita menggunakan prinsip bahwa jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung harus sama dengan jari-jari.

Garis Singgung dengan Kemiringan Tertentu

Menggunakan pendekatan jarak untuk menemukan persamaan dengan gradien yang diberikan.

Misalkan kita memiliki lingkaran $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ dan ingin mencari garis singgung dengan gradien $m$ . Garis singgung berbentuk $y = mx + c$ .

Kunci utama adalah menggunakan rumus jarak titik ke garis. Jarak dari pusat $(h,k)$ ke garis $mx - y + c = 0$ adalah:

d = \frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}}

Karena garis menyinggung lingkaran, jarak ini harus tepat sama dengan jari-jari:

\frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r

|mh - k + c| = r\sqrt{m^2 + 1}

mh - k + c = \pm r\sqrt{m^2 + 1}

Sehingga diperoleh dua nilai konstanta:

c = k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}

Dengan demikian, persamaan kedua garis singgung adalah:

y = mx + k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}

Metode Kuadratik untuk Titik Eksternal

Kasus paling menantang adalah ketika kita ingin menarik garis singgung dari titik di luar lingkaran. Dari satu titik eksternal, kita bisa menarik tepat dua garis singgung dengan gradien yang berbeda.

Garis Singgung dari Titik Eksternal

Menggunakan metode kuadratik dalam gradien untuk titik di luar lingkaran.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita menggunakan pendekatan persamaan kuadrat dalam gradien. Misalkan titik eksternal adalah $P(x_0, y_0)$ dan lingkaran memiliki persamaan $x^2 + y^2 = r^2$ .

Garis singgung dari titik P berbentuk $y - y_0 = m(x - x_0)$ , atau $y = mx - mx_0 + y_0$ .

Substitusikan ke persamaan lingkaran dan gunakan syarat diskriminan nol:

x^2 + (mx - mx_0 + y_0)^2 = r^2

(1 + m^2)x^2 + 2m(y_0 - mx_0)x + (y_0 - mx_0)^2 - r^2 = 0

Diskriminan sama dengan nol memberikan persamaan kuadrat dalam $m$ :

(x_0^2 - r^2)m^2 - 2x_0y_0m + (y_0^2 - r^2) = 0

Dua akar persamaan ini adalah gradien kedua garis singgung.

Contoh Terapan Lengkap

Mari kita selesaikan satu kasus konkret untuk memperjelas pemahaman. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ yang melalui titik $A(7, 1)$ .

Langkah 1: Verifikasi bahwa titik A berada di luar lingkaran.

7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 \quad \checkmark

Langkah 2: Bentuk persamaan kuadrat dalam gradien dengan $x_0 = 7$ , $y_0 = 1$ , $r^2 = 25$ :

(49 - 25)m^2 - 2(7)(1)m + (1 - 25) = 0

24m^2 - 14m - 24 = 0

12m^2 - 7m - 12 = 0

Langkah 3: Selesaikan dengan rumus kuadrat:

m = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 576}}{24} = \frac{7 \pm \sqrt{625}}{24} = \frac{7 \pm 25}{24}

Jadi $m_1 = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$ dan $m_2 = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$ .

Langkah 4: Konstruksi persamaan akhir:

y - 1 = \frac{4}{3}(x - 7) \Rightarrow 4x - 3y = 25

y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 7) \Rightarrow 3x + 4y = 25

Latihan

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ di titik $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ .
Carilah persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 9$ yang bergradien $-\frac{1}{2}$ .
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ yang melalui titik $(11, 10)$ .
Sebuah lingkaran memiliki persamaan $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ . Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $3x + 4y = 7$ .

Kunci Jawaban

Penyelesaian:

Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ di titik $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ , gunakan rumus:

$x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2$

Langkah 1: Substitusi koordinat titik singgung

$x \cdot 2\sqrt{2} + y \cdot 2\sqrt{2} = 16$
$2\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y = 16$

Langkah 2: Sederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan $2\sqrt{2}$

$x + y = \frac{16}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $x + y = 4\sqrt{2}$ .
Penyelesaian:

Untuk gradien $m = -\frac{1}{2}$ dan $r = 3$ , gunakan rumus:

$y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$

Langkah 1: Hitung nilai $\sqrt{1 + m^2}$

$\sqrt{1 + m^2} = \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Langkah 2: Substitusi ke rumus

$y = -\frac{1}{2}x \pm 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{2}x \pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$

Jadi dua persamaan garis singgung: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{5}}{2}$ dan $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3\sqrt{5}}{2}$ .
Penyelesaian:

Lingkaran $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ memiliki pusat $(3,4)$ dan jari-jari $r = 5$ .

Langkah 1: Cek posisi titik $(11,10)$

$(11-3)^2 + (10-4)^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 > 25$

Titik di luar lingkaran.

Langkah 2: Gunakan persamaan kuadrat dalam gradien. Dengan translasi koordinat ke pusat lingkaran, titik $(11,10)$ menjadi $(8,6)$ relatif terhadap pusat.

Langkah 3: Persamaan kuadrat dalam gradien untuk lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ dari titik $(8,6)$ :

$(8^2 - 25)m^2 - 2(8)(6)m + (6^2 - 25) = 0$
$39m^2 - 96m + 11 = 0$

Langkah 4: Menggunakan rumus kuadrat:

$m = \frac{96 \pm \sqrt{96^2 - 4(39)(11)}}{2(39)} = \frac{96 \pm \sqrt{9216 - 1716}}{78}$
$m = \frac{96 \pm \sqrt{7500}}{78} = \frac{96 \pm 50\sqrt{3}}{78}$

Langkah 5: Sederhanakan gradien dan tentukan persamaan garis singgung melalui titik $(11,10)$ :

$m_1 = \frac{96 + 50\sqrt{3}}{78} \text{ dan } m_2 = \frac{96 - 50\sqrt{3}}{78}$

Persamaan kedua garis singgung dapat ditulis dalam bentuk $y - 10 = m(x - 11)$ .
Penyelesaian:

Langkah 1: Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat

$x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 9 + 16$
$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$

Pusat $(3,4)$ , jari-jari $r = 5$ .

Langkah 2: Garis $3x + 4y = 7$ dapat ditulis $y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$

Gradien garis sejajar: $m = -\frac{3}{4}$

Langkah 3: Untuk lingkaran dengan pusat $(3,4)$ , persamaan garis singgung sejajar:

$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \pm 5\sqrt{1 + \frac{9}{16}}$
$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \pm 5 \cdot \frac{5}{4}$
$y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} + 4 \pm \frac{25}{4}$

Langkah 4: Sederhanakan kedua persamaan

$y = -\frac{3}{4}x + \frac{50}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}$
$y = -\frac{3}{4}x$

Jadi dua persamaan garis singgung: $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}$ dan $y = -\frac{3}{4}x$ .

Command Palette