Kedudukan Garis Singgung Lingkaran

Memahami Garis Singgung Lingkaran

Bayangkan kamu sedang mengendarai sepeda di trek yang berbentuk lingkaran. Pada suatu titik, kamu memutuskan untuk keluar dari trek tersebut dalam garis lurus. Nah, garis lurus yang kamu tempuh itulah yang disebut garis singgung terhadap lingkaran trek.

Secara matematis, garis singgung lingkaran adalah garis lurus yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik saja. Titik persentuhan ini disebut titik singgung. Yang menarik adalah, garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran di titik singgung tersebut.

Konsep ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi, seperti mendesain jalan raya yang keluar dari bundaran, menentukan lintasan benda yang bergerak meninggalkan orbit melingkar, atau bahkan dalam bidang optik untuk menentukan arah pantulan cahaya.

Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana. Ketika kita sudah tahu titik singgungnya, menentukan persamaan garis singgung menjadi relatif mudah.

Untuk lingkaran dengan persamaan $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ dan titik singgung $T(x_1, y_1)$, kita bisa menentukan persamaan garis singgungnya dengan langkah berikut:

Langkah pertama: Hitung gradien jari-jari dari pusat $O(a,b)$ ke titik singgung $T(x_1, y_1)$:

Langkah kedua: Karena garis singgung tegak lurus dengan jari-jari, maka gradien garis singgung adalah:

Langkah ketiga: Gunakan rumus persamaan garis dengan gradien dan satu titik:

Setelah disederhanakan, kita akan mendapat rumus praktis untuk garis singgung lingkaran:

Rumus ini sangat praktis karena kita tinggal mensubstitusikan koordinat pusat lingkaran, titik singgung, dan jari-jari kuadrat.

Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Kadang kita tidak diberikan titik singgung, tetapi diminta mencari garis singgung yang memiliki gradien tertentu. Misalnya, kita ingin mencari garis singgung yang sejajar dengan garis tertentu.

Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ dan gradien $m$ yang diketahui, kita substitusikan persamaan garis $y = mx + c$ ke persamaan lingkaran:

Karena garis menyinggung lingkaran, diskriminan persamaan kuadrat ini harus nol:

Sehingga diperoleh:

Jadi, untuk setiap gradien $m$, selalu ada dua garis singgung dengan persamaan:

Garis Singgung dari Titik Eksternal

Kasus yang paling menarik adalah ketika kita diminta mencari garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran. Dari satu titik di luar lingkaran, kita bisa menarik tepat dua garis singgung.

Untuk menentukan persamaan garis singgung dari titik $P(x_0, y_0)$ di luar lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, kita menggunakan konsep garis kutub.

Persamaan garis kutub titik $P(x_0, y_0)$ terhadap lingkaran adalah:

Garis kutub ini adalah garis yang menghubungkan kedua titik singgung dari titik $P$ ke lingkaran. Jadi, untuk mencari titik-titik singgung, kita perlu:

1. Menentukan persamaan garis kutub
2. Mencari titik potong garis kutub dengan lingkaran
3. Menggunakan kedua titik singgung untuk menentukan persamaan garis singgung

Konsep garis kutub ini sangat elegan karena memberikan cara sistematis untuk menyelesaikan masalah garis singgung dari titik eksternal.

Contoh Penerapan

Mari kita lihat contoh konkret. Diketahui lingkaran $L \equiv (x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$ dan titik $B(2, 6)$ yang berada di luar lingkaran.

Langkah 1: Tentukan persamaan garis kutub titik $B(2, 6)$ terhadap lingkaran:

Langkah 2: Cari titik potong garis kutub $3x + 4y = 14$ dengan lingkaran. Dari persamaan garis, kita dapat $x = \frac{14-4y}{3}$. Substitusi ke persamaan lingkaran:

Setelah diselesaikan, kita akan mendapat dua titik singgung. Kemudian gunakan titik-titik tersebut untuk menentukan persamaan garis singgung.

Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $(3, 4)$.

2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ yang sejajar dengan garis $y = 2x + 5$.

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$ yang melalui titik $(4, 2)$.

4. Sebuah lingkaran memiliki persamaan $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis $x + 2y = 7$.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ dengan pusat $O(0,0)$ dan jari-jari $r = 5$, serta titik singgung $T(3,4)$.

   Menggunakan rumus garis singgung: $(x-a)(x_1-a) + (y-b)(y_1-b) = r^2$

   $$(x-0)(3-0) + (y-0)(4-0) = 25$$

   $$3x + 4y = 25$$

   Jadi persamaan garis singgungnya adalah $3x + 4y = 25$.

2. Penyelesaian:

   Garis yang sejajar dengan $y = 2x + 5$ memiliki gradien $m = 2$.

   Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ dengan $r = 4$, menggunakan rumus:

   $$y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$$
   $$y = 2x \pm 4\sqrt{1 + 4}$$

   $$y = 2x \pm 4\sqrt{5}$$

   Jadi ada dua garis singgung: $y = 2x + 4\sqrt{5}$ dan $y = 2x - 4\sqrt{5}$.

3. Penyelesaian:

   Lingkaran $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$ memiliki pusat $(1,-2)$ dan $r^2 = 8$.

   Persamaan garis kutub titik $(4,2)$:

   $$(x-1)(4-1) + (y-(-2))(2-(-2)) = 8$$

   $$3(x-1) + 4(y+2) = 8$$

   $$3x - 3 + 4y + 8 = 8$$

   $$3x + 4y = 3$$

   Cari titik potong dengan lingkaran untuk mendapat titik-titik singgung, lalu tentukan persamaan garis singgung melalui masing-masing titik singgung dan titik $(4,2)$.

4. Penyelesaian:

   Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat:

   $$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$$

   $$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9$$

   $$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$$

   Pusat $(2,-3)$, jari-jari $r = 4$.

   Garis $x + 2y = 7$ dapat ditulis $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$, sehingga gradiennya $m_1 = -\frac{1}{2}$.

   Garis yang tegak lurus memiliki gradien $m = 2$.

   Untuk lingkaran dengan pusat $(2,-3)$, persamaan garis singgung dengan gradien 2:

   $$y - (-3) = 2(x - 2) \pm 4\sqrt{1 + 4}$$

   $$y + 3 = 2x - 4 \pm 4\sqrt{5}$$

   $$y = 2x - 7 \pm 4\sqrt{5}$$

   Jadi dua garis singgung: $y = 2x - 7 + 4\sqrt{5}$ dan $y = 2x - 7 - 4\sqrt{5}$.