Kedudukan Dua Lingkaran

Hubungan Antar Lingkaran

Pernahkah kamu perhatikan bagaimana dua gelembung sabun berinteraksi? Kadang mereka bersilangan, kadang cuma bersentuhan sekilas, atau malah menghindar satu sama lain. Nah, konsep matematika tentang kedudukan dua lingkaran mirip banget dengan fenomena ini!

Dalam geometri analitik, kita bisa menentukan dengan pasti bagaimana hubungan dua lingkaran: apakah mereka berpotongan, bersinggungan, atau justru terpisah sama sekali. Yang menarik, semua ini bisa diprediksi hanya dengan mengetahui pusat dan jari-jari masing-masing lingkaran.

Konsep ini super berguna dalam kehidupan nyata. Misalnya, untuk mendesain roda gigi yang harus bersinggungan dengan sempurna, menghitung area coverage dua antena radio, atau bahkan merencanakan taman dengan kolam bundar yang saling berhubungan.

Lingkaran Berpotongan

Dua lingkaran dikatakan berpotongan kalau mereka bertemu di dua titik berbeda. Bayangin aja seperti dua cincin yang saling "menembus" satu sama lain.

Untuk dua lingkaran dengan jari-jari $r_1$ dan $r_2$ serta jarak antar pusat $d$, kondisi berpotongan terjadi ketika:

Logikanya gini:

• Batas atas: Kalau jarak pusat = $r_1 + r_2$, kedua lingkaran cuma bersentuhan di luar
• Batas bawah: Kalau jarak pusat = $|r_1 - r_2|$, lingkaran kecil bersentuhan dengan yang besar dari dalam
• Area berpotongan: Di antara kedua batas ini, lingkaran pasti berpotongan di dua titik

Lingkaran Bersinggungan

Bersinggungan artinya dua lingkaran cuma ketemu di satu titik aja. Seperti dua roda yang bersentuhan tepat di satu titik buat mentransfer gerak.

Ada dua jenis bersinggungan:

1. Bersinggungan luar terjadi ketika $d = r_1 + r_2$. Kedua lingkaran berada terpisah dan bersentuhan di satu titik.

2. Bersinggungan dalam terjadi ketika $d = |r_1 - r_2|$. Lingkaran kecil ada di dalam yang besar dan bersentuhan di satu titik.

Ini adalah contoh lingkaran bersinggungan dalam:

Lingkaran Terpisah

Kondisi ini terjadi ketika kedua lingkaran sama sekali gak bersentuhan. Seperti dua pulau yang terpisah lautan, gak ada koneksi fisik di antara keduanya.

Kondisi terpisah terjadi ketika jarak antar pusat lebih besar dari jumlah kedua jari-jari:

Dalam situasi ini, gak ada titik yang jadi anggota kedua lingkaran sekaligus. Mereka benar-benar terpisah di bidang koordinat.

Lingkaran Konsentris dan Berhimpit

Lingkaran konsentris adalah dua lingkaran yang pusatnya sama tapi jari-jarinya beda. Bayangin target panah dengan lingkaran-lingkaran yang berpusat sama.

Untuk lingkaran konsentris, jarak antar pusat adalah nol ($d = 0$) tapi jari-jari berbeda ($r_1 \ne r_2$).

Lingkaran berhimpit adalah kondisi khusus dimana kedua lingkaran benar-benar identik. Mereka punya pusat dan jari-jari yang sama persis, jadi keliatan seperti satu lingkaran aja.

Kondisi berhimpit terjadi ketika:

Cara Menentukan Kedudukan

Untuk menentukan kedudukan dua lingkaran secara praktis, kita perlu hitung jarak antar pusat dan bandingkan dengan jari-jari.

Misalkan lingkaran pertama berpusat di $(x_1, y_1)$ dengan jari-jari $r_1$, dan lingkaran kedua berpusat di $(x_2, y_2)$ dengan jari-jari $r_2$.

Jarak antar pusat dihitung dengan rumus:

Setelah dapat nilai $d$, kita bisa tentukan kedudukan berdasarkan kondisi berikut:

• Saling lepas: $d > r_1 + r_2$ (lingkaran terpisah jauh)
• Bersinggungan luar: $d = r_1 + r_2$ (bersentuhan di luar)
• Berpotongan: $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ (memotong di dua titik)
• Bersinggungan dalam: $d = |r_1 - r_2|$ (bersentuhan di dalam)
• Tidak berpotongan: $d < |r_1 - r_2|$ (satu lingkaran di dalam lainnya)
• Konsentris: $d = 0$ dan $r_1 \ne r_2$ (pusat sama, jari-jari beda)
• Berhimpit: $d = 0$ dan $r_1 = r_2$ (lingkaran identik)

Contoh Penerapan

Tentukan kedudukan dua lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 = 9$ dan $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$.

Langkah 1: Identifikasi pusat dan jari-jari masing-masing lingkaran.

Lingkaran pertama: pusat $(0, 0)$, jari-jari $r_1 = 3$

Untuk lingkaran kedua, kita lengkapkan kuadrat:

Lingkaran kedua: pusat $(3, 4)$, jari-jari $r_2 = 5$

Langkah 2: Hitung jarak antar pusat.

Langkah 3: Bandingkan dengan kondisi kedudukan.

Karena $2 < 5 < 8$, maka kedua lingkaran saling berpotongan.

Untuk memastikan jawaban benar, kita bisa cek kondisi $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$:

• $|3 - 5| = 2$
• $3 + 5 = 8$
• $2 < 5 < 8$ $\checkmark$ (kondisi berpotongan terpenuhi)