Kedudukan Suatu Titik Terhadap Lingkaran

Memahami Posisi Titik Relatif Terhadap Lingkaran

Kalau kamu punya sebuah lingkaran dan satu titik sembarang, pasti kamu penasaran dong posisi titik itu di mana? Apakah titiknya ada di dalam lingkaran, tepat di tepi lingkarannya, atau malah di luar lingkaran sama sekali?

Konsep ini penting banget karena dalam kehidupan nyata kita sering butuh tahu posisi suatu objek relatif terhadap area berbentuk lingkaran. Misalnya, apakah rumah kamu masih dalam jangkauan sinyal tower yang bentuknya lingkaran, atau apakah posisi pesawat masih dalam radar pengawasan.

Dengan menggunakan persamaan lingkaran dan koordinat titik, kita bisa menentukan posisi titik tersebut secara matematika yang akurat.

Konsep Kuasa Titik

Untuk menentukan kedudukan suatu titik terhadap lingkaran, kita pakai konsep yang namanya kuasa titik. Ini adalah cara matematis untuk mengukur "seberapa jauh" titik tersebut dari lingkaran.

Kalau kita punya titik $A(x_0, y_0)$ dan lingkaran dengan persamaan umum $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, maka kuasa titik $A$ didefinisikan sebagai:

Jadi tinggal substitusi koordinat titik ke persamaan lingkaran, gampang kan?

Tiga Kemungkinan Posisi Titik

Berdasarkan nilai kuasa titik, ada tiga kemungkinan posisi:

1. Titik di dalam lingkaran terjadi ketika $K_A < 0$. Artinya titik tersebut berada di area dalam lingkaran.

2. Titik pada lingkaran terjadi ketika $K_A = 0$. Ini berarti titik tersebut tepat berada di tepi atau keliling lingkaran.

3. Titik di luar lingkaran terjadi ketika $K_A > 0$. Posisi titik berada di luar area lingkaran.

Kalau kita visualisasi, maka akan terlihat seperti ini:

Cara Menentukan Kedudukan Titik

Prosesnya cukup straightforward. Pertama, kita identifikasi persamaan lingkaran dan koordinat titik yang akan dicek. Kedua, substitusi koordinat titik ke persamaan lingkaran untuk mendapat nilai kuasa titik. Ketiga, lihat tanda dari hasil substitusi tersebut.

Kalau hasilnya negatif, titik di dalam. Kalau nol, titik pada lingkaran. Kalau positif, titik di luar lingkaran.

Mari kita coba dengan contoh konkret. Misalnya kita punya titik $A(1, -2)$ dan lingkaran $x^2 + y^2 = 25$.

Substitusi koordinat titik:

Karena nilai kuasa titik $K_A = 5$ dan untuk lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ yang memiliki $r^2 = 25$, maka $5 < 25$. Jadi titik $A(1, -2)$ berada di dalam lingkaran.

Untuk lingkaran dalam bentuk $x^2 + y^2 = r^2$, kita bandingkan hasil substitusi dengan $r^2$. Kalau kurang dari $r^2$, titik di dalam. Kalau sama dengan $r^2$, titik pada lingkaran. Kalau lebih dari $r^2$, titik di luar.

Aplikasi untuk Bentuk Umum

Kalau lingkarannya dalam bentuk umum $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, caranya sama saja. Tinggal substitusi koordinat titik ke seluruh persamaan dan lihat tanda hasilnya.

Contohnya, untuk titik $A(1, -2)$ dan lingkaran $x^2 + y^2 - 8x - 2y - 8 = 0$:

Karena $K_A = -7 < 0$, maka titik $A(1, -2)$ berada di dalam lingkaran.

Latihan

1. Tentukan kedudukan titik $A(3, 4)$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 16$.

2. Selidiki apakah titik $B(6, -8)$ berada pada lingkaran $x^2 + y^2 = 100$.

3. Tentukan kedudukan titik $C(2, 1)$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.

4. Sebuah lingkaran memiliki persamaan $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$. Tentukan kedudukan titik $D(7, 2)$ terhadap lingkaran tersebut.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Substitusi koordinat titik $A(3, 4)$ ke persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 16$:

   $$K_A = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$

   Karena $K_A = 25 > 16$, maka titik $A(3, 4)$ berada di luar lingkaran.

2. Penyelesaian:

   Substitusi koordinat titik $B(6, -8)$ ke persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 100$:

   $$K_B = 6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$$

   Karena $K_B = 100 = 100$, maka titik $B(6, -8)$ berada tepat pada lingkaran.

3. Penyelesaian:

   Substitusi koordinat titik $C(2, 1)$ ke persamaan lingkaran $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$:

   $$K_C = 2^2 + 1^2 - 4(2) + 6(1) - 12$$

   $$K_C = 4 + 1 - 8 + 6 - 12 = -9$$

   Karena $K_C = -9 < 0$, maka titik $C(2, 1)$ berada di dalam lingkaran.

4. Penyelesaian:

   Untuk lingkaran $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ dengan pusat $(3, -2)$ dan jari-jari $r = 5$.

   Substitusi titik $D(7, 2)$:

   $$K_D = (7-3)^2 + (2-(-2))^2 = 4^2 + 4^2$$

   $$K_D = 16 + 16 = 32$$

   Karena $K_D = 32 > 25 = r^2$, maka titik $D(7, 2)$ berada di luar lingkaran.