Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Memahami Hubungan Garis dan Lingkaran

Coba bayangkan kamu punya sebuah lingkaran dan sebuah garis lurus pada bidang yang sama. Menarik kan, bagaimana kedua objek geometri ini bisa berinteraksi? Ternyata ada tiga kemungkinan yang bisa terjadi.

Garis tersebut bisa memotong lingkaran di dua titik, menyinggung lingkaran di satu titik saja, atau bahkan tidak bersentuhan sama sekali dengan lingkaran. Seperti halnya ketika kamu melempar pensil ke arah cincin, pensil itu bisa menembus cincin, menyentuh tepi cincin, atau meleset sama sekali.

Konsep ini sangat penting dalam geometri analitik karena membantu kita memahami berbagai situasi dalam kehidupan nyata. Misalnya, untuk menentukan apakah jalan raya akan melewati area lindung yang berbentuk lingkaran, atau untuk menganalisis lintasan satelit terhadap zona tertentu.

Tiga Kemungkinan Posisi

Mari kita lihat ketiga kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran secara visual:

Dari visualisasi di atas, kita bisa lihat tiga situasi berbeda. Garis pertama tidak menyentuh lingkaran sama sekali, garis kedua menyentuh lingkaran tepat di satu titik, dan garis ketiga menembus lingkaran sehingga berpotongan di dua titik.

1. Garis memotong lingkaran terjadi ketika garis lurus melewati bagian dalam lingkaran sehingga bertemu dengan keliling lingkaran di dua titik berbeda.

2. Garis menyinggung lingkaran terjadi ketika garis lurus hanya menyentuh keliling lingkaran tepat di satu titik saja. Garis seperti ini disebut garis singgung.

3. Garis tidak berpotongan terjadi ketika garis lurus berada di luar lingkaran sehingga tidak ada titik pertemuan antara garis dan lingkaran.

Metode Diskriminan

Untuk menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran secara matematis, kita menggunakan metode substitusi yang menghasilkan persamaan kuadrat. Kemudian, kita analisis diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut.

Misalkan kita punya garis dengan persamaan $y = mx + c$ dan lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$.

Langkah pertama adalah mensubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Caranya gampang, tinggal ganti semua $y$ di persamaan lingkaran dengan $mx + c$:

Hasil substitusi ini membentuk persamaan kuadrat dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan koefisien:

Nah, sekarang kita hitung diskriminan dari persamaan kuadrat ini. Diskriminan adalah nilai yang menentukan jenis akar persamaan kuadrat:

Interpretasi Nilai Diskriminan

Nilai diskriminan inilah yang akan memberitahu kita kedudukan garis terhadap lingkaran. Konsepnya sederhana:

1. Diskriminan positif ($\Delta > 0$) artinya persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda. Dalam konteks geometri, ini berarti garis memotong lingkaran di dua titik.

2. Diskriminan nol ($\Delta = 0$) artinya persamaan kuadrat memiliki satu akar real (akar kembar). Geometrinya, garis menyinggung lingkaran di satu titik.

3. Diskriminan negatif ($\Delta < 0$) artinya persamaan kuadrat tidak memiliki akar real. Secara geometri, garis tidak berpotongan dengan lingkaran.

Contoh Perhitungan

Mari kita lihat contoh konkret supaya lebih jelas. Misalnya kita punya garis $y = 2x - 1$ dan lingkaran $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$.

Kita substitusikan $y = 2x - 1$ ke dalam persamaan lingkaran:

Dari persamaan kuadrat $5x^2 - 4x - 5 = 0$, kita identifikasi koefisiennya: $a = 5$, $b = -4$, dan $c = -5$.

Hitung diskriminan:

Karena $\Delta = 116 > 0$, maka garis $y = 2x - 1$ memotong lingkaran di dua titik.

Nilai diskriminan ini tidak hanya memberitahu kedudukan garis, tetapi juga menunjukkan berapa banyak titik perpotongan yang ada. Semakin besar nilai diskriminan positif, semakin "jauh" garis dari kondisi menyinggung.

Kasus Lingkaran Standar

Untuk lingkaran dengan pusat di titik asal seperti $x^2 + y^2 = r^2$ dan garis $y = mx + c$, prosesnya jadi lebih ringkas.

Substitusikan garis ke lingkaran:

Diskriminan untuk kasus ini adalah:

Setelah disederhanakan:

Interpretasinya tetap sama berdasarkan tanda diskriminan.

Latihan

1. Tentukan kedudukan garis $y = x + 3$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 8$.

2. Selidiki kedudukan garis $y = -2x + 5$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$.

3. Garis $2x + y - 4 = 0$ dan lingkaran $x^2 + y^2 = 5$. Bagaimana kedudukan keduanya?

4. Tentukan nilai $k$ agar garis $y = x + k$ menyinggung lingkaran $x^2 + y^2 = 18$.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Substitusi $y = x + 3$ ke $x^2 + y^2 = 8$:

   $$x^2 + (x + 3)^2 = 8$$

   $$x^2 + x^2 + 6x + 9 = 8$$

   $$2x^2 + 6x + 1 = 0$$

   Diskriminan: $\Delta = 6^2 - 4(2)(1) = 36 - 8 = 28$

   Karena $\Delta = 28 > 0$, garis memotong lingkaran di dua titik.

2. Penyelesaian:

   Substitusi $y = -2x + 5$ ke $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$:

   $$x^2 + (-2x + 5)^2 - 6x + 4(-2x + 5) + 9 = 0$$

   $$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 - 6x - 8x + 20 + 9 = 0$$

   $$5x^2 - 34x + 54 = 0$$

   Diskriminan: $\Delta = (-34)^2 - 4(5)(54) = 1156 - 1080 = 76$

   Karena $\Delta = 76 > 0$, garis memotong lingkaran di dua titik.

3. Penyelesaian:

   Ubah garis $2x + y - 4 = 0$ menjadi $y = -2x + 4$.

   Substitusi ke $x^2 + y^2 = 5$:

   $$x^2 + (-2x + 4)^2 = 5$$

   $$x^2 + 4x^2 - 16x + 16 = 5$$

   $$5x^2 - 16x + 11 = 0$$

   Diskriminan: $\Delta = (-16)^2 - 4(5)(11) = 256 - 220 = 36$

   Karena $\Delta = 36 > 0$, garis memotong lingkaran di dua titik.

4. Penyelesaian:

   Agar garis menyinggung lingkaran, diskriminan harus sama dengan nol.

   Substitusi $y = x + k$ ke $x^2 + y^2 = 18$:

   $$x^2 + (x + k)^2 = 18$$

   $$x^2 + x^2 + 2kx + k^2 = 18$$

   $$2x^2 + 2kx + (k^2 - 18) = 0$$

   Diskriminan: $\Delta = (2k)^2 - 4(2)(k^2 - 18) = 4k^2 - 8k^2 + 144 = -4k^2 + 144$

   Supaya $\Delta = 0$:

   $$-4k^2 + 144 = 0$$

   $$4k^2 = 144$$

   $$k^2 = 36$$

   $$k = \pm 6$$

   Jadi nilai $k = 6$ atau $k = -6$.