Peluang Kejadian Majemuk Saling Bebas Bersyarat

Memahami Konsep Dasar

Bayangkan kamu sedang bermain kartu dengan teman. Kamu mengambil satu kartu dari deck, lalu temanmu mengambil kartu berikutnya. Apakah peluang temanmu mendapat kartu tertentu bergantung pada kartu yang kamu ambil sebelumnya? Tentu saja! Inilah yang disebut peluang bersyarat pada kejadian yang saling bebas.

Peluang kejadian majemuk saling bebas bersyarat adalah perhitungan peluang suatu kejadian terjadi dengan mempertimbangkan bahwa kejadian lain telah terjadi sebelumnya, di mana kedua kejadian tersebut pada dasarnya independen namun saling mempengaruhi dalam urutan kejadian.

Konsep ini berbeda dengan peluang biasa karena kita harus mempertimbangkan kondisi yang sudah terjadi sebelum menghitung peluang kejadian berikutnya.

Rumus dan Notasi Matematis

Untuk dua kejadian A dan B yang saling bebas namun berurutan, rumus peluang bersyarat adalah:

Di mana:

• $P(B|A)$ adalah peluang kejadian B terjadi setelah kejadian A terjadi
• $P(A \cap B)$ adalah peluang kedua kejadian A dan B terjadi bersamaan
• $P(A)$ adalah peluang kejadian A terjadi

Karena kejadian saling bebas, kita dapat menuliskan:

Sehingga untuk peluang gabungan kedua kejadian:

Penerapan pada Pengambilan Kartu

Skenario Kartu Merah dan Hati

Sebuah deck kartu standar memiliki 52 kartu. Terdapat 26 kartu merah dan 13 kartu hati. Jika kita mengambil dua kartu secara berurutan tanpa pengembalian, bagaimana menghitung peluang mendapat kartu merah pertama dan kartu hati kedua?

Analisis langkah demi langkah:

Misalkan:

• Kejadian C = mendapat kartu merah pada pengambilan pertama
• Kejadian D = mendapat kartu hati pada pengambilan kedua

Perhitungan peluang:

Setelah mengambil satu kartu merah, tersisa 51 kartu total. Jumlah kartu hati tetap 13 kartu karena kartu hati merupakan bagian dari kartu merah, sehingga peluang mengambil kartu hati menjadi $\frac{13}{51}$.

Perhitungan Khusus Kartu Hati

Jika fokus pada pengambilan kartu hati secara berurutan, maka:

• Pengambilan pertama: $P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
• Pengambilan kedua setelah mendapat hati: $P(B|A) = \frac{12}{51}$

Maka, peluang mendapat kartu hati kedua adalah:

Aplikasi dalam Seleksi Manajemen

Sebuah perusahaan multinasional sedang melakukan audit internal untuk mengevaluasi distribusi manajer berdasarkan gender dan tingkat jabatan. Data yang diperoleh dari departemen SDM menunjukkan komposisi sebagai berikut:

Dari data ini, perusahaan ingin menganalisis peluang dalam proses seleksi acak untuk komite khusus yang akan dibentuk. Jika dipilih dua manajer secara acak tanpa pengembalian, peluang mendapat manajer laki-laki pada pemilihan pertama dan kedua adalah:

Setelah memilih satu manajer laki-laki, tersisa 599 manajer total dengan 199 manajer laki-laki, sehingga peluang memilih manajer laki-laki kedua berkurang menjadi $\frac{199}{599}$.

Strategi Penyelesaian Masalah

Langkah Sistematis

Untuk menyelesaikan soal peluang bersyarat independen:

1. Identifikasi kejadian pertama dan kedua dengan jelas
2. Tentukan kondisi setelah kejadian pertama terjadi
3. Hitung peluang kejadian pertama dari kondisi awal
4. Hitung peluang bersyarat kejadian kedua setelah kejadian pertama
5. Kalikan kedua peluang untuk mendapat peluang gabungan

Perbedaan dengan Peluang Biasa

Peluang bersyarat mempertimbangkan perubahan kondisi setelah kejadian pertama, sedangkan peluang independen biasa tidak mempertimbangkan urutan kejadian.

Contoh Konkret: Mengambil Dua Kartu As

Misalkan kita ingin menghitung peluang mendapat dua kartu As berturut-turut dari deck standar (52 kartu, 4 As).

1. Peluang Independen (Dengan Pengembalian):

   Jika setelah mengambil kartu pertama, kartu dikembalikan dan deck dikocok ulang:

   $$P(As_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

   $$P(As_2) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

   $$P(As_1 \cap As_2) = \frac{4}{52} \times \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{169}$$

2. Peluang Bersyarat (Tanpa Pengembalian):

   Jika kartu pertama tidak dikembalikan:

   $$P(As_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

   $$P(As_2|As_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$$

   $$P(As_1 \cap As_2) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$$

Perbandingan Hasil:

• Peluang independen: $\frac{1}{169} = 0.00592$
• Peluang bersyarat: $\frac{1}{221} = 0.00452$

Peluang bersyarat memberikan hasil yang lebih kecil karena setelah mengambil satu As, jumlah As yang tersisa berkurang dari 4 menjadi 3, sementara total kartu juga berkurang dari 52 menjadi 51.

Latihan

1. Sebuah kotak berisi 8 bola merah dan 12 bola biru. Jika diambil dua bola secara berurutan tanpa pengembalian, hitunglah peluang mendapat bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan kedua.

2. Sebuah deck kartu dikocok acak. Tiga kartu diambil berturut-turut tanpa pengembalian. Berapa peluang mendapat kartu As pada pengambilan pertama, kartu King pada pengambilan kedua, dan kartu Queen pada pengambilan ketiga?

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Misalkan A = mendapat bola merah pertama, B = mendapat bola biru kedua

   Total bola awal = 8 + 12 = 20 bola

   $$P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$

   $$P(B|A) = \frac{12}{19}$$

   $$P(A \cap B) = \frac{8}{20} \times \frac{12}{19} = \frac{2}{5} \times \frac{12}{19} = \frac{24}{95}$$

   Setelah mengambil satu bola merah, tersisa 19 bola total (8-1=7 merah, 12 biru). Jumlah bola biru tidak berubah (tetap 12), sehingga peluang mengambil bola biru kedua adalah $\frac{12}{19}$.

2. Penyelesaian:

   Misalkan A = mendapat As pertama, K = mendapat King kedua, Q = mendapat Queen ketiga

   Deck standar memiliki 52 kartu dengan masing-masing: 4 As, 4 King, 4 Queen

   $$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

   $$P(K|A) = \frac{4}{51}$$

   $$P(Q|A \cap K) = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}$$

   $$P(A \cap K \cap Q) = \frac{4}{52} \times \frac{4}{51} \times \frac{4}{50} = \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} \times \frac{2}{25} = \frac{8}{16575}$$

   Setiap pengambilan mengurangi total kartu (52→51→50), namun jumlah As, King, dan Queen masing-masing tetap 4 karena jenis kartu yang diambil berbeda pada setiap langkah.