Kode sumberVideo

Command Palette

Search for a command to run...

Kombinatorik

Aturan Pengisian Tempat

Pengertian Aturan Pengisian Tempat

Aturan pengisian tempat adalah metode untuk menentukan banyaknya cara menempatkan objek-objek pada tempat-tempat yang tersedia. Konsep ini sangat berguna dalam menyelesaikan masalah kombinatorik dimana kita perlu menghitung semua kemungkinan susunan atau pilihan yang dapat dibuat.

Bayangkan seperti mengisi formulir yang memiliki beberapa kolom. Setiap kolom memiliki pilihan tertentu, dan kita ingin tahu berapa banyak cara berbeda untuk mengisi seluruh formulir tersebut.

Metode Aturan Tabel

Metode tabel menyajikan semua kemungkinan kombinasi dalam bentuk tabel yang sistematis. Setiap baris dan kolom mewakili pilihan dari kategori yang berbeda.

Misalkan seorang siswa ingin memilih paket pembelajaran online. Tersedia tiga platform (Platform A, Platform B, Platform C) dan empat mata pelajaran (Matematika, Fisika, Kimia, Biologi).

Dengan menggunakan tabel, kita dapat melihat semua kombinasi yang mungkin:

PlatformMatematikaFisikaKimiaBiologi
Platform AA-MatA-FisA-KimA-Bio
Platform BB-MatB-FisB-KimB-Bio
Platform CC-MatC-FisC-KimC-Bio
Total kombinasi=3×4=12 cara\text{Total kombinasi} = 3 \times 4 = 12 \text{ cara}

Metode Diagram Cabang

Diagram cabang menggambarkan setiap pilihan sebagai cabang pohon. Metode ini membantu visualisasi langkah demi langkah dalam membuat keputusan.

Untuk kasus yang sama, diagram cabang dimulai dari satu titik awal, kemudian bercabang menjadi pilihan-pilihan yang tersedia.

  1. Tingkat 1:

    1 titik awal→3 cabang platform1 \text{ titik awal} \rightarrow 3 \text{ cabang platform}

  2. Tingkat 2:

    3 platform→3×4=12 cabang mata pelajaran3 \text{ platform} \rightarrow 3 \times 4 = 12 \text{ cabang mata pelajaran}

  3. Struktur cabang:

    Awal→Platform→Mata Pelajaran\text{Awal} \rightarrow \text{Platform} \rightarrow \text{Mata Pelajaran}

  4. Total rute lengkap:

    3×4=12 kombinasi3 \times 4 = 12 \text{ kombinasi}

Metode Aturan Perkalian

Aturan perkalian adalah metode paling efisien untuk menghitung banyaknya cara mengisi tempat yang tersedia. Jika terdapat nn tempat dengan masing-masing tempat ke-ii memiliki kik_i pilihan, maka total cara pengisian adalah:

Total cara=k1×k2×k3×⋯×kn\text{Total cara} = k_1 \times k_2 \times k_3 \times \cdots \times k_n

Contoh Penggunaan Aturan Perkalian

Sebuah sekolah ingin membuat kode akses untuk sistem pembelajaran digital. Kode tersebut terdiri dari:

  • Tempat pertama: 3 huruf (A, B, C)
  • Tempat kedua: 5 angka (1, 2, 3, 4, 5)
  • Tempat ketiga: 2 simbol (@, #)

Maka, total kode berbeda yang dapat dibuat adalah:

k1=3 (pilihan huruf)k_1 = 3 \text{ (pilihan huruf)}
k2=5 (pilihan angka)k_2 = 5 \text{ (pilihan angka)}
k3=2 (pilihan simbol)k_3 = 2 \text{ (pilihan simbol)}
Total kode berbeda=3×5×2=30 kode\text{Total kode berbeda} = 3 \times 5 \times 2 = 30 \text{ kode}

Kasus Dengan Pembatasan

Dalam beberapa situasi, terdapat pembatasan tertentu yang mempengaruhi jumlah pilihan di setiap tempat.

Pengulangan Tidak Diperbolehkan

Jika objek yang sama tidak boleh digunakan berulang, maka setiap tempat yang terisi akan mengurangi pilihan untuk tempat berikutnya.

Contoh: Membuat bilangan 3 digit dari angka 2, 3, 4, 5, 6 tanpa pengulangan.

Tempat pertama=5 pilihan\text{Tempat pertama} = 5 \text{ pilihan}
Tempat kedua=4 pilihan (1 angka sudah terpakai)\text{Tempat kedua} = 4 \text{ pilihan (1 angka sudah terpakai)}
Tempat ketiga=3 pilihan (2 angka sudah terpakai)\text{Tempat ketiga} = 3 \text{ pilihan (2 angka sudah terpakai)}
Total bilangan=5×4×3=60 bilangan\text{Total bilangan} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \text{ bilangan}

Pengulangan Diperbolehkan

Jika objek yang sama boleh digunakan berulang, maka pilihan di setiap tempat tetap sama.

Untuk kasus yang sama dengan pengulangan diperbolehkan:

Setiap tempat=5 pilihan\text{Setiap tempat} = 5 \text{ pilihan}
Total bilangan=5×5×5=125 bilangan\text{Total bilangan} = 5 \times 5 \times 5 = 125 \text{ bilangan}

Latihan

  1. Sebuah toko elektronik menjual smartphone dengan 4 merek berbeda, masing-masing tersedia dalam 3 kapasitas memori dan 5 pilihan warna. Berapa banyak kombinasi smartphone yang berbeda?

  2. Untuk membuat password yang terdiri dari 1 huruf diikuti 2 angka, dimana huruf dipilih dari A, B, C, D dan angka dipilih dari 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan. Berapa banyak password yang dapat dibuat?

  3. Dari kota P ke kota R melalui kota Q, terdapat 3 jalan dari P ke Q dan 4 jalan dari Q ke R. Berapa banyak rute berbeda yang dapat dipilih untuk perjalanan dari P ke R?

  4. Membuat nomor plat kendaraan yang terdiri dari 2 huruf diikuti 3 angka. Jika tersedia 26 huruf dan 10 angka (0-9), dan pengulangan diperbolehkan, berapa banyak nomor plat yang dapat dibuat?

Kunci Jawaban

  1. Diketahui: 4 merek, 3 kapasitas memori, 5 pilihan warna

    Total kombinasi=4×3×5=60 kombinasi smartphone\text{Total kombinasi} = 4 \times 3 \times 5 = 60 \text{ kombinasi smartphone}

  2. Diketahui: 1 huruf dari {A,B,C,D}\{A, B, C, D\}, 2 angka dari {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} tanpa pengulangan

    Pilihan huruf=4\text{Pilihan huruf} = 4
    Pilihan angka pertama=5\text{Pilihan angka pertama} = 5
    Pilihan angka kedua=4 (tanpa pengulangan)\text{Pilihan angka kedua} = 4 \text{ (tanpa pengulangan)}
    Total password=4×5×4=80 password\text{Total password} = 4 \times 5 \times 4 = 80 \text{ password}

  3. Diketahui: 3 jalan dari P ke Q, 4 jalan dari Q ke R

    Total rute=3×4=12 rute berbeda\text{Total rute} = 3 \times 4 = 12 \text{ rute berbeda}

  4. Diketahui: 2 huruf dari 26 huruf, 3 angka dari 10 angka, pengulangan diperbolehkan

    Pilihan huruf pertama=26\text{Pilihan huruf pertama} = 26
    Pilihan huruf kedua=26\text{Pilihan huruf kedua} = 26
    Pilihan setiap angka=10\text{Pilihan setiap angka} = 10
    Total nomor plat=26×26×10×10×10\text{Total nomor plat} = 26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10
    =676×1000=676000 nomor plat= 676 \times 1000 = 676000 \text{ nomor plat}
Sebelumnya

Tembereng

Selanjutnya

Permutasi n Item dari n Objek