Peluang Kejadian Majemuk Saling Bebas

Memahami Kejadian Saling Bebas

Dalam kehidupan nyata, kita sering menghadapi situasi dimana hasil satu kejadian tidak mempengaruhi hasil kejadian lainnya. Bayangkan kamu melempar koin dan dadu secara bersamaan. Apakah hasil koin mempengaruhi angka yang muncul pada dadu? Tentu tidak! Kedua kejadian ini bersifat independen atau saling bebas.

Kejadian saling bebas adalah dua atau lebih kejadian yang hasil dari satu kejadian tidak mempengaruhi probabilitas kejadian lainnya. Jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B, dan sebaliknya, maka kedua kejadian tersebut saling bebas.

Sebagai ilustrasi sederhana, pikirkan tentang cuaca hari ini dan hasil ujian matematika kamu besok. Hujan atau cerah hari ini tidak akan mempengaruhi nilai ujian kamu (kecuali kamu terlambat karena hujan, tapi itu cerita lain!). Kedua kejadian ini saling bebas secara statistik.

Ciri Kejadian Saling Bebas

Tidak Saling Mempengaruhi

Ciri utama kejadian saling bebas adalah hasil satu kejadian tidak mengubah probabilitas kejadian lainnya. Dalam notasi matematika, jika A dan B adalah kejadian saling bebas, maka:

Artinya probabilitas A terjadi ketika B sudah terjadi sama dengan probabilitas A terjadi secara umum.

Contoh Kehidupan Sehari Hari

Beberapa contoh kejadian saling bebas yang mudah dipahami:

• Melempar dua koin berbeda secara bersamaan
• Mengambil kartu dari dua deck terpisah
• Hasil ujian dua siswa yang berbeda (tanpa menyontek!)
• Kondisi cuaca di dua kota yang berjauhan

Identifikasi Kejadian Saling Bebas

Untuk mengidentifikasi apakah dua kejadian saling bebas, tanyakan: "Apakah mengetahui hasil kejadian pertama memberikan informasi tentang hasil kejadian kedua?" Jika jawabannya tidak, maka kedua kejadian tersebut saling bebas.

Rumus Peluang Kejadian Saling Bebas

Karena kejadian saling bebas tidak saling mempengaruhi, perhitungan probabilitas gabungannya menjadi sederhana. Rumus dasar untuk probabilitas kejadian saling bebas adalah:

Rumus ini menunjukkan bahwa probabilitas kedua kejadian A dan B terjadi bersamaan sama dengan perkalian probabilitas masing-masing kejadian.

Mengapa Rumus Ini Berlaku

Berbeda dengan kejadian yang saling mempengaruhi, pada kejadian saling bebas probabilitas kondisional sama dengan probabilitas biasa. Karena $P(A|B) = P(A)$, maka:

Inilah mengapa kita bisa langsung mengalikan probabilitas individual untuk mendapatkan probabilitas gabungan.

Penerapan dalam Perhitungan

Pelemparan Dua Dadu

Dua dadu dilempar bersamaan, satu dadu merah dan satu dadu putih. Tentukan probabilitas mendapatkan angka $2$ pada dadu merah dan angka $5$ pada dadu putih.

Penyelesaian:

• Kejadian A: munculnya angka $2$ pada dadu merah
• Kejadian B: munculnya angka $5$ pada dadu putih

Kedua kejadian ini saling bebas karena hasil dadu merah tidak mempengaruhi hasil dadu putih.

Jadi probabilitas mendapatkan angka $2$ pada dadu merah dan angka $5$ pada dadu putih adalah $\frac{1}{36}$.

Pelemparan Dadu dan Koin

Sebuah dadu dan sebuah koin dilempar bersamaan. Tentukan probabilitas mendapatkan angka genap pada dadu dan gambar pada koin.

Penyelesaian:

• Kejadian A: munculnya angka genap pada dadu = $\{2, 4, 6\}$
• Kejadian B: munculnya gambar pada koin = $\{G\}$

Kedua kejadian saling bebas karena hasil dadu tidak mempengaruhi hasil koin.

Contoh Aplikasi Nyata

Dalam sebuah kota, probabilitas mobil pemadam kebakaran diperlukan pada hari tertentu adalah $0.98$, sedangkan probabilitas ambulans diperlukan adalah $0.92$. Berapa probabilitas kedua kendaraan tersebut diperlukan pada hari yang sama?

Angka probabilitas ini menggambarkan skenario kota besar dengan tingkat aktivitas darurat yang tinggi.

Penyelesaian:

• Kejadian A: mobil pemadam kebakaran diperlukan
• Kejadian B: ambulans diperlukan

Kedua kejadian ini dapat dianggap saling bebas karena kebutuhan pemadam kebakaran tidak mempengaruhi kebutuhan ambulans.

Perhitungan detail:

Jadi probabilitas kedua kendaraan tersebut diperlukan pada hari yang sama adalah $0.9016$ atau $90.16\%$.

Strategi Pemecahan Masalah

Langkah Sistematis

Untuk menyelesaikan soal probabilitas kejadian saling bebas, ikuti langkah berikut:

1. Identifikasi kejadian yang terlibat dalam masalah
2. Pastikan kejadian saling bebas dengan memverifikasi tidak ada pengaruh timbal balik
3. Hitung probabilitas individual setiap kejadian
4. Terapkan rumus $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
5. Periksa hasil apakah masuk akal dalam konteks masalah

Tips Praktis

Beberapa strategi untuk memudahkan pemahaman:

• Visualisasikan kejadian dengan diagram pohon jika diperlukan
• Pastikan independensi dengan bertanya apakah satu kejadian mempengaruhi yang lain
• Periksa konsistensi hasil dengan menggunakan pendekatan berbeda
• Gunakan konteks untuk memvalidasi apakah jawaban masuk akal

Mengenali Kejadian Saling Bebas

Perhatikan karakteristik berikut untuk mengidentifikasi kejadian saling bebas:

Kejadian yang Saling Bebas:

• Pelemparan beberapa koin sekaligus
• Pengambilan kartu dengan pengembalian
• Hasil ujian siswa yang berbeda
• Kondisi cuaca di lokasi terpisah

Kejadian yang TIDAK Saling Bebas:

• Pengambilan kartu tanpa pengembalian
• Tinggi badan dan berat badan seseorang
• Nilai ujian siswa yang sama pada mata pelajaran berbeda
• Suhu dan kelembaban udara

Latihan

1. Dua koin dilempar bersamaan. Tentukan probabilitas mendapatkan angka pada koin pertama dan gambar pada koin kedua.

2. Sebuah dadu dan sebuah kartu diambil dari deck standar. Hitunglah probabilitas mendapatkan angka prima pada dadu dan kartu berwarna merah.

3. Dalam sebuah kelas, probabilitas seorang siswa lulus matematika adalah $0.85$ dan probabilitas lulus fisika adalah $0.78$. Jika kedua mata pelajaran independen, berapa probabilitas siswa tersebut lulus kedua mata pelajaran?

4. Tiga koin dilempar bersamaan. Tentukan probabilitas mendapatkan tepat dua gambar.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   • Kejadian A: angka pada koin pertama, $P(A) = \frac{1}{2}$
   • Kejadian B: gambar pada koin kedua, $P(B) = \frac{1}{2}$

   Kedua kejadian saling bebas karena hasil koin pertama tidak mempengaruhi koin kedua.

   $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

2. Penyelesaian:

   • Kejadian A: angka prima pada dadu = $\{2, 3, 5\}$, sehingga $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
   • Kejadian B: kartu merah (hati dan wajik), sehingga $P(B) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$

   Kedua kejadian saling bebas.

   $$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

3. Penyelesaian:

   • Kejadian A: lulus matematika, $P(A) = 0.85$
   • Kejadian B: lulus fisika, $P(B) = 0.78$

   Karena kedua mata pelajaran independen:

   $$P(A \cap B) = 0.85 \times 0.78 = 0.663$$

   Jadi probabilitas lulus kedua mata pelajaran adalah $0.663$ atau $66.3\%$.

4. Penyelesaian:

   Cara 1: Enumerasi Langsung

   Ruang sampel 3 koin (A = Angka, G = Gambar): $\{AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG\}$, total = $8$

   Kejadian tepat dua gambar: $\{AGG, GAG, GGA\}$, ada $3$ kejadian

   $$P(\text{tepat 2 gambar}) = \frac{3}{8}$$

   Cara 2: Menggunakan Distribusi Binomial

   Untuk $n = 3$ lemparan dengan probabilitas sukses (gambar) $p = \frac{1}{2}$, probabilitas tepat $k = 2$ sukses adalah:

   $$P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$$

   Substitusi nilai:

   $$P(\text{tepat 2 gambar}) = \binom{3}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^1$$

   Penjelasan langkah per langkah:

   • $\binom{3}{2} = 3$ (cara memilih 2 posisi dari 3 untuk gambar)
   • $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ (probabilitas 2 gambar)
   • $\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$ (probabilitas 1 angka)

   Jadi, perhitungannya adalah:

   $$P(\text{tepat 2 gambar}) = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$

   Jadi probabilitas mendapatkan tepat dua gambar adalah $\frac{3}{8}$.