Aturan Rantai pada Turunan

Memahami Fungsi Bersusun

Bayangkan kamu punya mesin yang mengubah sebuah angka (fungsi pertama), dan hasilnya langsung dimasukkan ke mesin lain untuk diolah lagi (fungsi kedua). Proses inilah yang disebut fungsi komposisi atau fungsi bersusun. Secara matematis, kalau kita punya $g(x)$ sebagai fungsi dalam dan $f(u)$ sebagai fungsi luar, maka komposisinya adalah $y = f(g(x))$.

Aturan rantai adalah metode untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi seperti ini, di mana satu fungsi "terbungkus" di dalam fungsi lainnya.

Teorema Aturan Rantai

Untuk menurunkan fungsi komposisi, kita tidak bisa menurunkannya satu per satu begitu saja. Ada sebuah aturan elegan yang menghubungkan turunan fungsi luar dan fungsi dalamnya.

Jika $y = f(g(x))$, maka turunannya ditentukan oleh perkalian antara turunan fungsi luar terhadap fungsi dalam dengan turunan fungsi dalam itu sendiri.

Secara formal, jika kita memisalkan $u = g(x)$, maka $y = f(u)$. Turunannya didefinisikan sebagai:

Rumus ini dikenal sebagai aturan rantai. Intinya, kita menurunkan dari "lapisan" terluar ke lapisan terdalam, lalu mengalikan hasilnya.

Penerapan Aturan Rantai

Yuk, kita coba terapkan teorema ini pada beberapa kasus biar lebih kebayang.

Fungsi Bentuk Pangkat

Tentukan turunan pertama dari $y = (x^2 - 4x - 2)^8$.

Penyelesaian:

Pertama, kita perlu memecah fungsi ini menjadi dua bagian: fungsi luar dan fungsi dalam.

• Fungsi dalam ($u$) adalah ekspresi yang ada di dalam kurung: $u = x^2 - 4x - 2$.
• Fungsi luar ($y$) adalah operasi pangkatnya: $y = u^8$.

Selanjutnya, kita cari turunan dari masing-masing fungsi:

• Turunan fungsi dalam: $\frac{du}{dx} = 2x - 4$.
• Turunan fungsi luar: $\frac{dy}{du} = 8u^7$.

Sekarang, kita bisa gabungkan keduanya pakai aturan rantai:

Terakhir, kita substitusikan kembali $u$ dan sederhanakan ekspresinya:

Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari $y = \cos^4(3 - 4x)$.

Penyelesaian:

Fungsi ini bisa kita tulis ulang jadi $y = (\cos(3 - 4x))^4$. Ini adalah kasus di mana kita perlu menerapkan aturan rantai lebih dari sekali karena ada tiga lapisan fungsi.

• Fungsi terdalam: $v = 3 - 4x$
• Fungsi tengah: $u = \cos(v)$
• Fungsi terluar: $y = u^4$

Kemudian, kita turunkan setiap lapisan:

• Turunan fungsi terluar: $\frac{dy}{du} = 4u^3$
• Turunan fungsi tengah: $\frac{du}{dv} = -\sin(v)$
• Turunan fungsi terdalam: $\frac{dv}{dx} = -4$

Gabungkan semuanya dengan aturan rantai:

Sekarang, substitusikan kembali $u$ dan $v$ secara bertahap untuk mendapatkan hasil akhir:

Latihan

1. Tentukan turunan pertama dari $y = (3x^2 - 1)^3$.
2. Tentukan turunan pertama dari $y = \sin^3(2x)$.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian untuk $y = (3x^2 - 1)^3$

   Langkah 1: Kenali fungsinya

   • Fungsi dalam: $u = 3x^2 - 1$
   • Fungsi luar: $y = u^3$

   Langkah 2: Cari turunan masing-masing

   • $\frac{du}{dx} = 6x$
   • $\frac{dy}{du} = 3u^2$

   Langkah 3: Gabungkan dengan aturan rantai

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

   $$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 6x = 18x \cdot u^2$$

   Langkah 4: Jangan lupa substitusi balik

   $$\frac{dy}{dx} = 18x(3x^2 - 1)^2$$

2. Penyelesaian untuk $y = \sin^3(2x)$

   Fungsi ini adalah $y = (\sin(2x))^3$. Kita gunakan aturan rantai berlapis.

   Langkah 1: Kenali fungsinya

   • Fungsi terdalam: $v = 2x$
   • Fungsi tengah: $u = \sin(v)$
   • Fungsi terluar: $y = u^3$

   Langkah 2: Cari turunan masing-masing

   • $\frac{dv}{dx} = 2$
   • $\frac{du}{dv} = \cos(v)$
   • $\frac{dy}{du} = 3u^2$

   Langkah 3: Gabungkan dengan aturan rantai

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$$

   $$\frac{dy}{dx} = (3u^2) \cdot (\cos(v)) \cdot (2)$$

   Langkah 4: Substitusi balik dan sederhanakan

   $$\frac{dy}{dx} = 6u^2 \cos(v)$$

   $$\frac{dy}{dx} = 6\sin^2(v) \cos(v)$$

   $$\frac{dy}{dx} = 6\sin^2(2x) \cos(2x)$$