Turunan Fungsi Trigonometri

Aturan Main Fungsi Trigonometri

Menentukan turunan fungsi trigonometri sebenarnya tidak jauh berbeda dengan fungsi aljabar. Kita tetap menggunakan sifat-sifat turunan yang sudah dikenal, seperti aturan hasil kali dan hasil bagi.

Namun, sebelum itu, kita perlu mengetahui turunan dasar dari fungsi-fungsi trigonometri utama seperti sinus dan kosinus. Aturan-aturan dasar inilah yang menjadi fondasi untuk menyelesaikan turunan yang lebih kompleks.

Turunan Dasar Trigonometri

Sama seperti turunan fungsi pangkat, turunan untuk fungsi trigonometri juga memiliki pola dasarnya. Turunan untuk sinus dan kosinus, misalnya, bisa dibuktikan langsung dari definisi limit turunan.

Berikut adalah turunan dasar dari enam fungsi trigonometri yang perlu kita hafal:

Turunan Sinus:

$f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x$
Turunan Kosinus:

$f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x$
Turunan Tangen:

$f(x) = \tan x \implies f'(x) = \sec^2 x$
Turunan Kotangen:

$f(x) = \cot x \implies f'(x) = -\csc^2 x$
Turunan Sekan:

$f(x) = \sec x \implies f'(x) = \sec x \tan x$
Turunan Kosekan:

$f(x) = \csc x \implies f'(x) = -\csc x \cot x$

Menerapkan Aturan pada Fungsi Trigonometri

Sekarang mari kita lihat bagaimana menerapkan aturan-aturan ini dalam beberapa contoh soal.

Kombinasi Aljabar dan Trigonometri

Tentukan turunan dari $y = 2 \sin x + 5x$ .

Penyelesaian:

Kita bisa menurunkan fungsi ini suku per suku menggunakan aturan penjumlahan.

y' = \frac{d}{dx}(2 \sin x) + \frac{d}{dx}(5x)

y' = 2(\cos x) + 5(1)

y' = 2 \cos x + 5

Menggunakan Aturan Hasil Kali

Tentukan turunan dari $y = 2 \sin x \tan x$ .

Penyelesaian:

Gunakan aturan hasil kali $y' = u'v + uv'$ .

Misalkan $u = 2 \sin x$ dan $v = \tan x$ .

Maka $u' = 2 \cos x$ dan $v' = \sec^2 x$ .

y' = (2 \cos x)(\tan x) + (2 \sin x)(\sec^2 x)

y' = (2 \cos x)\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) + (2 \sin x)(\sec^2 x)

y' = 2 \sin x + 2 \sin x \sec^2 x

Menggunakan Aturan Hasil Bagi

Tentukan turunan dari $y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$ .

Penyelesaian:

Gunakan aturan hasil bagi $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .

Misalkan $u = 1 + \cos x$ dan $v = \sin x$ .

Maka $u' = -\sin x$ dan $v' = \cos x$ .

y' = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (1 + \cos x)(\cos x)}{(\sin x)^2}

y' = \frac{-\sin^2 x - (\cos x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}

y' = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x) - \cos x}{\sin^2 x}

y' = \frac{-1 - \cos x}{1 - \cos^2 x} \quad (\text{Identitas Pythagoras})

y' = \frac{-(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} \quad (\text{Faktorisasi})

y' = \frac{-1}{1 - \cos x} = \frac{1}{\cos x - 1}

Latihan

Tentukan turunan pertama dari $f(x) = 4x^3 - 5 \cos x$ .
Tentukan turunan pertama dari $f(x) = \sin x \cos x$ .

Kunci Jawaban

Penyelesaian:

Gunakan aturan pengurangan untuk menurunkan setiap suku secara terpisah.

Langkah 1: Turunkan suku pertama

Turunan dari $4x^3$ menggunakan aturan pangkat adalah $3 \cdot 4x^{3-1} = 12x^2$ .

Langkah 2: Turunkan suku kedua

Turunan dari $-5 \cos x$ adalah $-5(-\sin x) = 5 \sin x$ .

Langkah 3: Gabungkan hasilnya

$f'(x) = 12x^2 + 5 \sin x$

Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah $12x^2 + 5 \sin x$ .
Penyelesaian:

Gunakan aturan hasil kali, $f'(x) = u'v + uv'$ .

Langkah 1: Tentukan u, v, u', dan v'

Misalkan $u = \sin x$ dan $v = \cos x$ .

Maka, $u' = \cos x$ dan $v' = -\sin x$ .

Langkah 2: Terapkan Aturan Hasil Kali

$f'(x) = (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x)$
$f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

Langkah 3: Gunakan Identitas Trigonometri (Opsional)

Hasilnya bisa juga disederhanakan menggunakan identitas sudut ganda, $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ .

$f'(x) = \cos(2x)$

Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah $\cos(2x)$ .

Command Palette