Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Hubungan Turunan dan Garis Singgung

Kamu tentu sudah tahu kalau turunan bisa memberi tahu kita banyak hal tentang sifat sebuah fungsi. Salah satu kegunaan paling keren dari turunan adalah untuk menemukan kemiringan atau gradien dari sebuah garis singgung pada kurva.

Bayangkan kamu "memperbesar" sebuah titik pada kurva terus-menerus. Lama-kelamaan, kurva yang melengkung itu akan terlihat seperti garis lurus, kan? Nah, garis lurus imajiner itulah yang kita sebut garis singgung. Gradien dari garis singgung di titik $x=a$ pada kurva $y=f(x)$ nilainya sama persis dengan turunan fungsi di titik itu, yaitu $m = f'(a)$.

Menentukan Persamaan Garis Singgung

Untuk membuat persamaan garis lurus, kita butuh dua hal utama: sebuah titik yang dilewati garis dan gradien garis itu sendiri. Dalam konteks ini:

1. Titik Singgung: Sebuah titik $P(a, b)$ tempat garis menyentuh kurva.
2. Gradien (m): Kemiringan garis di titik tersebut, yang kita dapatkan dari turunan, $m = f'(a)$.

Setelah punya keduanya, kita bisa langsung masukkan ke dalam rumus dasar persamaan garis yang sudah kamu kenal:

Singkatnya, untuk menemukan persamaan garis singgung, cari dulu gradiennya dengan menurunkan fungsi, lalu masukkan titik singgung dan gradien ke dalam rumus persamaan garis.

Membedah Kasus

Mari kita lihat cara kerjanya lewat sebuah contoh. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $y = 2 - 4x^2$ di titik $(1, -2)$.

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari gradien garis singgung

Pertama, kita turunkan fungsi $f(x) = 2 - 4x^2$ untuk mendapatkan ekspresi gradiennya.

Karena kita mau mencari gradien di titik yang absisnya $x=1$, substitusikan nilai ini ke dalam turunan.

Jadi, gradien garis singgungnya adalah -8.

Langkah 2: Susun persamaannya

Sekarang kita punya semua yang dibutuhkan:

• Titik singgung $(a, b) = (1, -2)$
• Gradien $m = -8$

Masukkan ke dalam rumus persamaan garis:

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y = -8x + 6$.

Latihan

1. Carilah persamaan garis singgung kurva $y = x^2 - 6\frac{1}{5}x + 14\frac{1}{2}$ yang sejajar dengan garis $x + 2y + 3 = 0$.

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola $y = 2x^2 - 3x + 5$ pada titik yang berordinat 4.

3. Suatu kurva $y = 3x - \frac{3}{x^2}$ memotong sumbu X di P. Carilah persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik P!

4. Kurva $y = (x^2 + 2)^2$ memotong sumbu Y pada titik A. Tunjukkan bahwa garis singgung pada kurva tersebut melalui titik A sejajar sumbu X dan berjarak 4 satuan terhadap titik pusat koordinat!

5. Tentukan koordinat titik pada kurva $y = 2x^2 - 7x + 1$, jika garis singgung kurva melalui titik tersebut dan membentuk sudut 45° terhadap sumbu X positif. Tentukan pula persamaan garis singgung kurva yang melalui titik tersebut!

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Langkah 1: Tentukan gradien.

   Garis singgung harus sejajar dengan garis $x + 2y + 3 = 0$. Untuk menemukan gradiennya, kita ubah dulu persamaan garis ini ke bentuk $y = mx + c$.

   $$2y = -x - 3$$

   $$y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$$

   Dari sini, kita tahu gradien garisnya adalah $m = -\frac{1}{2}$. Karena garis singgungnya sejajar, maka gradiennya juga sama.

   Langkah 2: Cari titik singgung.

   Gradien kurva pada suatu titik sama dengan nilai turunan pertama fungsi di titik tersebut. Pertama, kita cari fungsi turunan dari $f(x) = x^2 - \frac{31}{5}x + \frac{29}{2}$.

   $$f'(x) = 2x - \frac{31}{5}$$

   Kemudian, kita samakan nilai turunan ini dengan gradien yang sudah kita ketahui ($m = -1/2$) untuk menemukan absis ($x$) dari titik singgung.

   $$2x - \frac{31}{5} = -\frac{1}{2}$$

   $$2x = \frac{31}{5} - \frac{1}{2} = \frac{62 - 5}{10} = \frac{57}{10}$$

   $$x = \frac{57}{20}$$

   Setelah mendapatkan absis $x=\frac{57}{20}$, kita substitusikan nilai ini kembali ke persamaan kurva awal untuk menemukan ordinatnya ($y$).

   $$y = (\frac{57}{20})^2 - \frac{31}{5}(\frac{57}{20}) + \frac{29}{2} = \frac{3249}{400} - \frac{1767}{100} + \frac{29}{2} = \frac{3249 - 7068 + 5800}{400} = \frac{1981}{400}$$

   Jadi, titik singgungnya adalah $\left(\frac{57}{20}, \frac{1981}{400}\right)$.

   Langkah 3: Susun persamaan garis.

   Dengan titik $\left(\frac{57}{20}, \frac{1981}{400}\right)$ dan gradien $m = -\frac{1}{2}$, persamaannya adalah:

   $$y - \frac{1981}{400} = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{57}{20}\right)$$

   $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{57}{40} + \frac{1981}{400}$$

   $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{570 + 1981}{400}$$

   $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{2551}{400}$$

2. Penyelesaian:

   Langkah 1: Cari titik singgung.

   Karena ordinatnya adalah 4, kita atur $y=4$ pada persamaan parabola.

   $$4 = 2x^2 - 3x + 5$$

   $$2x^2 - 3x + 1 = 0$$

   $$(2x-1)(x-1) = 0$$

   Dari faktorisasi, kita mendapatkan dua nilai absis, yaitu $x=1$ dan $x=\frac{1}{2}$. Ini berarti ada dua titik singgung: $(1, 4)$ dan $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$. Karena itu, akan ada dua persamaan garis singgung.

   Langkah 2: Hitung gradien dan buat persamaan untuk setiap titik.

   Kita akan memproses setiap titik singgung secara terpisah. Turunan fungsinya adalah $f'(x) = 4x - 3$.

   Kasus Pertama: Titik $(1, 4)$

   Gradien di titik ini adalah $m = f'(1) = 4(1) - 3 = 1$.

   Maka, persamaannya adalah:

   $$y - 4 = 1(x - 1) \implies y = x + 3$$

   Kasus Kedua: Titik $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$

   Gradien di titik ini adalah $m = f'(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2}) - 3 = -1$.

   Maka, persamaannya adalah:

   $$y - 4 = -1(x - \frac{1}{2}) \implies y = -x + \frac{9}{2}$$

3. Penyelesaian:

   Langkah 1: Cari titik P.

   Kurva memotong sumbu X saat $y=0$.

   $$0 = 3x - \frac{3}{x^2}$$

   $$3x = \frac{3}{x^2} \implies 3x^3 = 3 \implies x^3 = 1 \implies x=1$$

   Jadi, titik potong P adalah $(1, 0)$.

   Langkah 2: Cari gradien di P.

   Kita ubah dulu fungsinya menjadi $f(x) = 3x - 3x^{-2}$ agar mudah diturunkan.

   $$f'(x) = 3 - (-2)(3)x^{-3} = 3 + \frac{6}{x^3}$$

   Gradien di $x=1$ adalah $m = f'(1) = 3 + \frac{6}{1^3} = 9$.

   Langkah 3: Susun persamaan.

   Dengan titik $(1, 0)$ dan gradien 9, persamaannya adalah:

   $$y - 0 = 9(x - 1) \implies y = 9x - 9$$

4. Penyelesaian:

   Langkah 1: Cari titik A.

   Kurva memotong sumbu Y saat $x=0$.

   $$y = (0^2 + 2)^2 = 4$$

   Jadi, titik potong A adalah $(0, 4)$.

   Langkah 2: Buktikan garis singgung sejajar sumbu X.

   Garis yang sejajar sumbu X pasti memiliki gradien 0. Mari kita buktikan bahwa turunan fungsi di titik A ($x=0$) adalah nol.

   Turunan dari $f(x)=(x^2+2)^2$ menggunakan aturan rantai adalah $f'(x) = 2(x^2+2)(2x) = 4x(x^2+2)$.

   Gradien di $x=0$ adalah $m = f'(0) = 4(0)(0^2+2) = 0$.

   Karena gradiennya nol, terbukti garis singgungnya sejajar dengan sumbu X.

   Langkah 3: Buktikan jaraknya 4 satuan dari pusat koordinat.

   Persamaan garis singgung di titik $(0,4)$ dengan gradien $m=0$ adalah:

   $$y - 4 = 0(x - 0) \implies y = 4$$

   Garis $y=4$ adalah garis horizontal. Jarak setiap titik pada garis ini ke sumbu X (garis $y=0$) adalah 4 satuan. Karena titik pusat koordinat $(0,0)$ terletak di sumbu X, maka jarak garis singgung ini ke pusat koordinat juga 4 satuan. Terbukti.

5. Penyelesaian:

   Langkah 1: Tentukan gradien dari sudut.

   Hubungan antara gradien ($m$) dan sudut ($\theta$) yang dibentuk sebuah garis terhadap sumbu X positif adalah $m = \tan(\theta)$.

   $$m = \tan(45^\circ) = 1$$

   Jadi, gradien garis singgung yang kita cari adalah 1.

   Langkah 2: Cari koordinat titik singgung.

   Gradien juga merupakan turunan pertama dari kurva $f(x) = 2x^2 - 7x + 1$.

   $$f'(x) = 4x - 7$$

   Kita samakan dengan gradien yang sudah kita dapatkan:

   $$4x - 7 = 1$$

   $$4x = 8 \implies x = 2$$

   Sekarang, cari nilai $y$ dengan memasukkan $x=2$ ke persamaan kurva:

   $$y = 2(2)^2 - 7(2) + 1 = 8 - 14 + 1 = -5$$

   Jadi, koordinat titik singgungnya adalah $(2, -5)$.

   Langkah 3: Tentukan persamaan garis singgung.

   Menggunakan titik $(2, -5)$ dan gradien $m=1$:

   $$y - (-5) = 1(x - 2)$$

   $$y + 5 = x - 2$$

   $$y = x - 7$$