Turunan Fungsi Aljabar

Menerapkan Aturan Turunan

Setelah kita menguasai berbagai sifat turunan, kini saatnya untuk mengaplikasikannya pada berbagai bentuk fungsi aljabar. Baik itu polinomial, fungsi rasional, atau yang mengandung bentuk akar, kuncinya adalah mengenali struktur fungsi dan memilih 'alat' atau sifat yang tepat untuk menurunkannya. Mari kita lihat bagaimana strategi ini diterapkan dalam beberapa contoh.

Penggunaan Sifat Turunan

Mari kita lihat bagaimana sifat-sifat turunan bekerja dalam praktik melalui beberapa contoh.

Menurunkan Polinomial

Tentukan turunan pertama dari $y = 4x^2 + x + 2$.

Penyelesaian:

Kita bisa menurunkan setiap suku satu per satu menggunakan aturan pangkat dan aturan konstanta.

Menaklukkan Bentuk Akar

Tentukan turunan pertama dari $y = x\sqrt{x^3}$.

Penyelesaian:

Ada dua cara untuk menyelesaikan ini.

Cara 1: Menggunakan Aturan Hasil Kali

Pertama, kita ubah bentuk akar menjadi pangkat: $y = x \cdot x^{3/2}$.

Misalkan $u(x) = x$ dan $v(x) = x^{3/2}$. Maka, $u'(x)=1$ dan $v'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$.

Cara 2: Menyederhanakan Terlebih Dahulu

Kita bisa menyederhanakan fungsinya sebelum diturunkan.

Kedua cara memberikan hasil yang sama. Terkadang, menyederhanakan fungsi terlebih dahulu dapat membuat proses penurunan menjadi lebih cepat.

Mengatasi Fungsi Rasional

Tentukan turunan pertama dari $y = 2\left(\frac{x^2+2}{x}\right)$.

Penyelesaian:

Kita gunakan aturan hasil bagi. Misalkan $u(x) = x^2+2$ dan $v(x) = x$. Maka $u'(x) = 2x$ dan $v'(x) = 1$.

Latihan

1. Tentukan turunan pertama dari $y = \frac{\sqrt{x} + x^2}{2x}$.

Kunci Jawaban

1. Untuk soal ini, cara termudah adalah dengan menyederhanakan fungsi terlebih dahulu sebelum menurunkannya.

   Langkah 1: Urai Pecahan

   Kita bisa memecah pecahan menjadi dua bagian terpisah untuk mempermudah.

   $$y = \frac{\sqrt{x}}{2x} + \frac{x^2}{2x}$$

   Langkah 2: Sederhanakan Setiap Suku

   Ubah bentuk akar menjadi pangkat $x^{1/2}$ dan gunakan sifat eksponen untuk menyederhanakan setiap suku.

   $$y = \frac{x^{1/2}}{2x^1} + \frac{x^2}{2x^1}$$

   $$y = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} + \frac{1}{2}x^{2-1}$$

   $$y = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x$$

   Langkah 3: Terapkan Aturan Pangkat

   Setelah fungsi menjadi sederhana, kita bisa langsung menurunkannya suku per suku.

   $$y' = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1}\right) + \frac{1}{2}(1)$$

   $$y' = -\frac{1}{4}x^{-3/2} + \frac{1}{2}$$

   Jadi, turunan pertamanya adalah $\frac{1}{2} - \frac{1}{4}x^{-3/2}$.