Sifat Turunan Fungsi

Jalan Pintas Menuju Turunan

Mencari turunan fungsi langsung dari definisi limitnya memang cara yang mendasar, tapi bisa jadi sangat panjang dan melelahkan, apalagi untuk fungsi yang rumit. Kabar baiknya, ada banyak jalan pintas! Para matematikawan telah mengembangkan serangkaian aturan praktis yang kita kenal sebagai sifat-sifat turunan.

Sifat-sifat ini bekerja layaknya peralatan khusus yang membuat proses penurunan fungsi menjadi jauh lebih cepat dan efisien, sehingga kita bisa fokus pada inti permasalahannya.

Aturan Paling Mendasar

Mari kita mulai dengan beberapa aturan fundamental yang akan sering kita gunakan.

Fungsi Konstan dan Pangkat

Dua aturan pertama adalah fondasi dari banyak turunan.

1. Fungsi Konstan: Jika sebuah fungsi hanya berupa angka konstan, misalnya $f(x) = k$, grafiknya akan menjadi garis lurus horizontal. Garis datar sama sekali tidak memiliki kemiringan, sehingga turunannya selalu nol.

   $$f(x) = k \implies f'(x) = 0$$

2. Aturan Pangkat: Ini adalah aturan yang sangat kuat untuk fungsi berbentuk $f(x) = ax^n$. Caranya sederhana, kalikan pangkat $n$ dengan koefisien $a$, lalu kurangi pangkatnya dengan satu.

   $$f(x) = ax^n \implies f'(x) = n \cdot ax^{n-1}$$

Operasi pada Fungsi

Bagaimana jika kita menggabungkan beberapa fungsi? Misalkan kita punya dua fungsi, $u(x)$ dan $v(x)$.

1. Pengali Konstanta: Jika fungsi dikalikan dengan sebuah konstanta, turunannya adalah konstanta tersebut dikalikan dengan turunan fungsinya.

   $$f(x) = k \cdot u(x) \implies f'(x) = k \cdot u'(x)$$

2. Penjumlahan dan Pengurangan: Aturan ini sangat intuitif. Turunan dari dua fungsi yang dijumlahkan atau dikurangkan adalah hasil penjumlahan atau pengurangan dari turunan masing-masing fungsi.

   $$f(x) = u(x) \pm v(x) \implies f'(x) = u'(x) \pm v'(x)$$

Aturan untuk Fungsi Kompleks

Untuk operasi yang lebih rumit seperti perkalian, pembagian, dan komposisi fungsi, kita memerlukan aturan khusus.

Aturan Hasil Kali

Saat menurunkan hasil perkalian dua fungsi, kita tidak bisa begitu saja mengalikan turunan masing-masing. Aturan yang benar adalah sebagai berikut:

Aturan Hasil Bagi

Sama seperti perkalian, pembagian juga memiliki formula khusus. Pastikan fungsi penyebut, $v(x)$, tidak sama dengan nol.

Aturan Rantai

Aturan ini digunakan untuk fungsi komposisi, atau "fungsi di dalam fungsi," seperti $f(x) = [u(x)]^n$. Bayangkan seperti mengupas bawang, kita menurunkannya dari lapisan terluar ke dalam. Turunkan fungsi luar terlebih dahulu, lalu kalikan dengan turunan fungsi di dalamnya.