Fungsi Naik, Turun, dan Stasioner

Perilaku Fungsi dan Turunannya

Pernahkah kamu memperhatikan bagaimana grafik sebuah fungsi bisa bergerak naik, turun, atau bahkan mendatar sejenak? Perilaku ini, yang disebut kemonotonan fungsi, ternyata punya kaitan erat dengan turunan pertamanya.

Bayangkan kamu sedang berjalan di sepanjang kurva grafik dari kiri ke kanan.

• Saat kamu mendaki, artinya fungsi tersebut sedang naik.

• Saat kamu menuruni lembah, artinya fungsi tersebut sedang turun.

• Saat kamu berada di puncak bukit atau di dasar lembah, kamu berada di titik diam atau stasioner.

Secara geometris, turunan pertama, $f'(x)$, adalah gradien dari garis singgung pada kurva di titik tersebut. Jadi, perilaku fungsi bisa kita lihat dari tanda gradiennya.

Sifat Kemonotonan Fungsi

Hubungan antara turunan pertama dan perilaku fungsi dapat kita rangkum dalam sifat-sifat berikut:

Misalkan fungsi $y = f(x)$ kontinu dan dapat diturunkan (diferensiabel) pada suatu interval.

• Jika $f'(x) > 0$ untuk semua $x$ dalam interval tersebut, maka $f(x)$ adalah fungsi naik.

• Jika $f'(x) < 0$ untuk semua $x$ dalam interval tersebut, maka $f(x)$ adalah fungsi turun.

• Jika $f'(x) = 0$ pada titik tertentu, maka $f(x)$ memiliki titik stasioner di sana.

Titik stasioner inilah yang menjadi kunci untuk menemukan di mana sebuah fungsi berubah dari naik menjadi turun, atau sebaliknya.

Menganalisis Interval Fungsi

Mari kita bedah sebuah kasus untuk melihat bagaimana cara menentukan interval di mana sebuah fungsi naik atau turun.

Tentukan interval agar fungsi $f(x) = x^3 - 3x$ merupakan fungsi naik dan fungsi turun.

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari turunan pertama

Pertama, kita turunkan fungsi $f(x)$.

Langkah 2: Temukan titik stasioner

Titik stasioner terjadi saat $f'(x) = 0$.

Dari sini, kita dapatkan titik-titik stasionernya adalah $x = 1$ dan $x = -1$.

Langkah 3: Buat garis bilangan dan uji interval

Kita letakkan titik stasioner pada garis bilangan. Titik-titik ini membagi garis menjadi tiga interval. Kita ambil satu titik uji dari setiap interval untuk mengetahui tanda $f'(x)$ (positif atau negatif).

• Interval $x < -1$:

  Ambil $x=-2$. $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9$ (Positif, fungsi naik).

• Interval $-1 < x < 1$:

  Ambil $x=0$. $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3$ (Negatif, fungsi turun).

• Interval $x > 1$:

  Ambil $x=2$. $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9$ (Positif, fungsi naik).

Langkah 4: Simpulkan intervalnya

Berdasarkan pengujian, kita dapat menyimpulkan:

• Fungsi naik pada interval $x < -1$ atau $x > 1$.

• Fungsi turun pada interval $-1 < x < 1$.

Latihan

1. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun pada kurva $f(x) = x^3 - 3x^2 - 15$.

2. Jika fungsi $f(x) = ax^3 + x^2 + 5$ selalu naik dalam interval $0 < x < 2$, tentukanlah nilai dari koefisien $a$!

3. Tentukan interval fungsi naik dan turun jika diketahui kurva $f(x) = \sin 2x \cos 2x$!

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Turunan pertama dari $f(x) = x^3 - 3x^2 - 15$ adalah $f'(x) = 3x^2 - 6x$.

   Titik stasioner didapat saat $f'(x) = 0$.

   $$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$$

   Titik stasionernya adalah $x=0$ dan $x=2$.

   Dengan menguji interval pada garis bilangan:

   • Untuk $x<0$, $f'(x)$ positif (naik).

   • Untuk $0<x<2$, $f'(x)$ negatif (turun).

   • Untuk $x>2$, $f'(x)$ positif (naik).

   Jadi, fungsi naik pada $x < 0$ atau $x > 2$, dan turun pada interval $0 < x < 2$.

2. Penyelesaian:

   Agar sebuah fungsi selalu naik pada suatu interval, turunan pertamanya harus non-negatif ($f'(x) \ge 0$) untuk setiap titik di dalam interval tersebut.

   $$f'(x) = 3ax^2 + 2x = x(3ax + 2)$$

   Pada interval $0 < x < 2$, faktor $x$ selalu positif. Oleh karena itu, agar $f'(x) \ge 0$, faktor kedua yaitu $(3ax + 2)$ juga harus non-negatif.

   $$3ax + 2 \ge 0$$

   Ketidaksamaan ini harus terpenuhi untuk semua nilai $x$ dalam interval $0 < x < 2$. Karena $h(x) = 3ax + 2$ adalah fungsi linear, perilakunya monoton. Kita hanya perlu memastikan nilainya non-negatif pada titik ujung interval yang paling "kritis".

   • Jika $a \ge 0$, maka $3ax$ juga non-negatif, sehingga $3ax+2$ pasti akan positif. Kondisi ini sudah terpenuhi.

   • Jika $a < 0$, maka $h(x)$ adalah fungsi yang menurun. Nilai terkecilnya akan berada di ujung kanan interval ($x=2$). Agar $h(x)$ selalu non-negatif, kita cukup pastikan nilai minimumnya ini lebih besar atau sama dengan nol.

   Kita uji pada batas kritis $x=2$:

   $$3a(2) + 2 \ge 0$$

   $$6a \ge -2$$

   $$a \ge -1/3$$

   Dengan menggabungkan kedua kasus tersebut, syarat agar fungsi selalu naik pada interval yang diberikan adalah $a \ge -1/3$.

3. Penyelesaian:

   Gunakan identitas trigonometri sudut ganda: $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$.

   Maka, $f(x) = \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin(4x)$.

   Turunan pertamanya adalah:

   $$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(4x) \cdot 4 = 2\cos(4x)$$

   • Fungsi naik saat $f'(x) > 0$, yaitu $2\cos(4x) > 0$ atau $\cos(4x) > 0$. Ini terjadi di kuadran I dan IV.

     $$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$

     $$-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$$

     Interval ini berlaku untuk setiap $k$ bilangan bulat.

   • Fungsi turun saat $f'(x) < 0$, yaitu $\cos(4x) < 0$. Ini terjadi di kuadran II dan III.

     $$\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$

     $$\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$$

     Interval ini berlaku untuk setiap $k$ bilangan bulat.