Dilatasi Horizontal

Konsep Dasar Dilatasi Horizontal

Dilatasi horizontal adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran grafik fungsi secara horizontal, seperti menarik atau menekan karet gelang ke kiri dan ke kanan. Bayangkan memegang foto dengan kedua tangan di sisi kiri dan kanan, lalu meregangkan atau menekannya secara horizontal tanpa mengubah tinggi foto tersebut.

Jika kita memiliki fungsi $f(x)$, maka dilatasi horizontal menghasilkan fungsi baru $g(x) = f(kx)$ dimana $k$ adalah faktor skala yang menentukan seberapa besar perubahan ukuran horizontal.

Aturan Dilatasi Horizontal

Untuk setiap fungsi $f(x)$, dilatasi horizontal didefinisikan sebagai:

Dimana $k$ adalah faktor skala yang mempengaruhi transformasi:

• Jika $k > 1$, grafik ditekan secara horizontal (diperkecil)
• Jika $0 < k < 1$, grafik diregangkan secara horizontal (diperbesar)
• Jika $k = 1$, grafik tidak berubah
• Jika $k < 0$, grafik mengalami refleksi sekaligus dilatasi

Perhatikan bahwa efek dilatasi horizontal berlawanan dengan intuisi: faktor skala yang lebih besar justru menekan grafik.

Visualisasi Dilatasi Horizontal

Mari kita lihat bagaimana dilatasi horizontal bekerja pada fungsi kuadrat $f(x) = x^2$ dengan berbagai faktor skala.

Dari visualisasi di atas, kita dapat mengamati:

• Fungsi asli $f(x) = x^2$ (ungu) sebagai referensi
• Fungsi $g(x) = (2x)^2$ (oranye) ditekan horizontal dengan faktor 2
• Fungsi $h(x) = (0.5x)^2$ (violet) diregangkan horizontal dengan faktor 0.5
• Semua grafik memiliki titik puncak yang sama di $(0, 0)$

Dilatasi Horizontal pada Fungsi Linear

Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi linear $f(x) = x + 2$.

Perhatikan bahwa:

• Fungsi asli $f(x) = x + 2$ memiliki kemiringan 1
• Fungsi $g(x) = f(2x) = 2x + 2$ memiliki kemiringan 2 (ditekan horizontal)
• Fungsi $h(x) = f(0.5x) = 0.5x + 2$ memiliki kemiringan 0.5 (diregangkan horizontal)
• Semua garis memotong sumbu y di titik yang sama $(0, 2)$

Sifat Penting Dilatasi Horizontal

Pengaruh pada Koordinat Titik

Jika titik $(a, b)$ berada pada grafik $f(x)$, maka titik yang bersesuaian pada grafik $f(kx)$ adalah $(\frac{a}{k}, b)$.

Domain dan Range

• Domain: Berubah sesuai dengan faktor skala $k$
• Range: Tidak berubah setelah dilatasi horizontal

Jika domain fungsi asli adalah $[c, d]$, maka domain setelah dilatasi horizontal dengan faktor $k > 0$ menjadi $[\frac{c}{k}, \frac{d}{k}]$.

Titik Potong Sumbu

• Titik potong sumbu x: Berubah sesuai faktor skala
• Titik potong sumbu y: Tidak berubah

Contoh Penerapan

Fungsi Eksponensial

Mari kita lihat dilatasi horizontal pada fungsi eksponensial $f(x) = 2^x$.

Pada fungsi eksponensial:

• Asimtot horizontal tetap di $y = 0$ untuk kedua fungsi
• Titik potong dengan sumbu y tetap sama di $(0, 1)$
• Laju pertumbuhan fungsi berubah sesuai faktor skala

Dilatasi Horizontal dengan Faktor Negatif

Mari kita lihat apa yang terjadi ketika faktor skala bernilai negatif.

Ketika faktor skala negatif:

• Grafik mengalami refleksi terhadap sumbu y
• Sekaligus mengalami dilatasi sesuai nilai absolut faktor skala
• Bentuk grafik tetap sama karena fungsi kuadrat simetris

Latihan

1. Diberikan fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$. Tentukan persamaan fungsi hasil dilatasi horizontal dengan faktor skala 3.

2. Jika grafik fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ mengalami dilatasi horizontal dengan faktor $\frac{1}{2}$, tentukan:

   • Persamaan fungsi hasil dilatasi
   • Domain fungsi setelah dilatasi

3. Fungsi $h(x) = |x - 2|$ mengalami dilatasi horizontal dengan faktor -1. Tentukan titik puncak dari fungsi hasil dilatasi.

Kunci Jawaban

1. Dilatasi horizontal dengan faktor 3: $f'(x) = f(3x) = (3x)^2 - 2(3x) + 1 = 9x^2 - 6x + 1$

   Fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$ dan Hasil Dilatasinya

   Parabola asli ditekan horizontal dengan faktor 3 menghasilkan parabola yang lebih sempit.

   Toggle GridToggle Play

2. Persamaan fungsi hasil dilatasi:

   • Dilatasi horizontal: $g'(x) = g(\frac{1}{2}x) = \sqrt{\frac{1}{2}x} = \sqrt{\frac{x}{2}}$
   • Domain setelah dilatasi: $[0, \infty)$ menjadi $[0, \infty)$ (tidak berubah karena faktor skala positif)

   Visualisasi:

   Fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ dan Hasil Dilatasinya

   Kurva akar kuadrat diregangkan horizontal dengan faktor 0.5 menghasilkan kurva yang lebih lebar.

   Toggle GridToggle Play

3. Fungsi asli $h(x) = |x - 2|$ memiliki titik puncak di $(2, 0)$. Setelah dilatasi horizontal dengan faktor -1: $h'(x) = |-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|$, titik puncak menjadi $(-2, 0)$.

   Fungsi $h(x) = |x - 2|$ dan Hasil Dilatasinya

   Fungsi nilai mutlak mengalami refleksi dan dilatasi dengan faktor -1.

   Toggle GridToggle Play