Dilatasi Vertikal

Konsep Dasar Dilatasi Vertikal

Dilatasi vertikal adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran grafik fungsi secara vertikal, seperti meregangkan atau menekan karet gelang ke atas dan ke bawah. Bayangkan menarik foto dengan kedua tangan, satu di atas dan satu di bawah, lalu meregangkan atau menekannya secara vertikal tanpa mengubah lebar foto tersebut.

Jika kita memiliki fungsi $f(x)$, maka dilatasi vertikal menghasilkan fungsi baru $g(x) = k \cdot f(x)$ dimana $k$ adalah faktor skala yang menentukan seberapa besar perubahan ukuran vertikal.

Aturan Dilatasi Vertikal

Untuk setiap fungsi $f(x)$, dilatasi vertikal didefinisikan sebagai:

Dimana $k$ adalah faktor skala yang mempengaruhi transformasi:

• Jika $k > 1$, grafik diregangkan secara vertikal (diperbesar)
• Jika $0 < k < 1$, grafik ditekan secara vertikal (diperkecil)
• Jika $k = 1$, grafik tidak berubah
• Jika $k < 0$, grafik mengalami refleksi sekaligus dilatasi

Visualisasi Dilatasi Vertikal

Mari kita lihat bagaimana dilatasi vertikal bekerja pada fungsi kuadrat $f(x) = x^2$ dengan berbagai faktor skala.

Dari visualisasi di atas, kita dapat mengamati:

• Fungsi asli $f(x) = x^2$ (ungu) sebagai referensi
• Fungsi $g(x) = 2x^2$ (oranye) diregangkan vertikal dengan faktor 2
• Fungsi $h(x) = 0.5x^2$ (violet) ditekan vertikal dengan faktor 0.5
• Semua grafik memiliki titik puncak yang sama di $(0, 0)$

Dilatasi Vertikal pada Fungsi Linear

Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi linear $f(x) = x + 1$.

Perhatikan bahwa:

• Fungsi asli $f(x) = x + 1$ memiliki kemiringan 1
• Fungsi $g(x) = 3(x + 1)$ memiliki kemiringan 3 (diregangkan)
• Fungsi $h(x) = 0.5(x + 1)$ memiliki kemiringan 0.5 (ditekan)
• Semua garis masih memotong sumbu y, tetapi di titik yang berbeda

Sifat Penting Dilatasi Vertikal

Pengaruh pada Koordinat Titik

Jika titik $(a, b)$ berada pada grafik $f(x)$, maka titik yang bersesuaian pada grafik $k \cdot f(x)$ adalah $(a, k \cdot b)$.

Domain dan Range

• Domain: Tidak berubah setelah dilatasi vertikal
• Range: Berubah sesuai dengan faktor skala $k$

Jika range fungsi asli adalah $[c, d]$, maka range setelah dilatasi vertikal dengan faktor $k > 0$ menjadi $[k \cdot c, k \cdot d]$.

Titik Potong Sumbu

• Titik potong sumbu x: Tidak berubah (kecuali jika $k = 0$)
• Titik potong sumbu y: Berubah sesuai faktor skala

Contoh Penerapan

Fungsi Eksponensial

Mari kita lihat dilatasi vertikal pada fungsi eksponensial $f(x) = 2^x$.

Pada fungsi eksponensial:

• Asimtot horizontal tetap di $y = 0$ untuk kedua fungsi
• Titik potong dengan sumbu y berubah dari $(0, 1)$ menjadi $(0, 2)$
• Laju pertumbuhan fungsi meningkat sesuai faktor skala

Dilatasi Vertikal dengan Faktor Negatif

Mari kita lihat apa yang terjadi ketika faktor skala bernilai negatif.

Ketika faktor skala negatif:

• Grafik mengalami refleksi terhadap sumbu x
• Sekaligus mengalami dilatasi sesuai nilai absolut faktor skala
• Parabola yang membuka ke atas menjadi membuka ke bawah

Latihan

1. Diberikan fungsi $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Tentukan persamaan fungsi hasil dilatasi vertikal dengan faktor skala 3.

2. Jika grafik fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ mengalami dilatasi vertikal dengan faktor $\frac{1}{2}$, tentukan:

   • Persamaan fungsi hasil dilatasi
   • Range fungsi setelah dilatasi

3. Fungsi $h(x) = |x - 1| + 2$ mengalami dilatasi vertikal dengan faktor -1. Tentukan titik puncak dari fungsi hasil dilatasi.

Kunci Jawaban

1. Dilatasi vertikal dengan faktor 3: $f'(x) = 3f(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 9$

   Fungsi $f(x) = x^2 - 4x + 3$ dan Hasil Dilatasinya

   Parabola asli diregangkan vertikal dengan faktor 3 menghasilkan parabola yang lebih tinggi.

   Toggle GridToggle Play

2. Persamaan fungsi hasil dilatasi:

   • Dilatasi vertikal: $g'(x) = \frac{1}{2}g(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}$
   • Range setelah dilatasi: $[0, \infty)$ menjadi $[0, \infty)$ tetapi dengan nilai maksimum yang lebih kecil

   Visualisasi:

   Fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ dan Hasil Dilatasinya

   Kurva akar kuadrat ditekan vertikal dengan faktor 0.5 menghasilkan kurva yang lebih rendah.

   Toggle GridToggle Play

3. Fungsi asli $h(x) = |x - 1| + 2$ memiliki titik puncak di $(1, 2)$. Setelah dilatasi vertikal dengan faktor -1: $h'(x) = -1 \cdot (|x - 1| + 2) = -|x - 1| - 2$, titik puncak menjadi $(1, -2)$.

   Fungsi $h(x) = |x - 1| + 2$ dan Hasil Dilatasinya

   Fungsi nilai mutlak mengalami refleksi dan dilatasi dengan faktor -1.

   Toggle GridToggle Play