Refleksi Vertikal

Konsep Dasar Refleksi Vertikal

Refleksi vertikal adalah transformasi geometri yang memantulkan grafik fungsi terhadap sumbu x, seperti melihat bayangan objek di permukaan air yang tenang. Bayangkan sebuah objek yang dipantulkan di cermin horizontal, bentuknya tetap sama tetapi posisinya terbalik secara vertikal.

Jika kita memiliki fungsi $f(x)$, maka refleksi vertikal menghasilkan fungsi baru $g(x) = -f(x)$ yang merupakan bayangan dari fungsi asli terhadap sumbu x.

Aturan Refleksi Vertikal

Untuk setiap fungsi $f(x)$, refleksi vertikal didefinisikan sebagai:

Transformasi ini mengubah setiap titik $(x, y)$ pada grafik asli menjadi $(x, -y)$ pada grafik hasil refleksi.

Visualisasi Refleksi Vertikal

Mari kita lihat bagaimana refleksi vertikal bekerja pada fungsi kuadrat $f(x) = x^2$.

Dari visualisasi di atas, kita dapat mengamati:

• Fungsi asli $f(x) = x^2$ (ungu) membuka ke atas dengan titik puncak di $(0, 0)$
• Fungsi hasil refleksi $g(x) = -x^2$ (oranye) membuka ke bawah dengan titik puncak tetap di $(0, 0)$
• Kedua grafik simetris terhadap sumbu x

Refleksi Vertikal pada Fungsi Linear

Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi linear $f(x) = 2x + 3$.

Perhatikan bahwa:

• Fungsi asli $f(x) = 2x + 3$ memiliki kemiringan positif dan memotong sumbu y di $(0, 3)$
• Fungsi hasil refleksi $g(x) = -2x - 3$ memiliki kemiringan negatif dan memotong sumbu y di $(0, -3)$
• Kedua garis berpotongan di sumbu x

Sifat Penting Refleksi Vertikal

Sumbu x sebagai Sumbu Simetri

Refleksi vertikal menggunakan sumbu x sebagai garis cermin. Setiap titik pada grafik asli memiliki jarak yang sama ke sumbu x dengan titik yang bersesuaian pada grafik hasil refleksi.

Pengaruh pada Titik Koordinat

Jika titik $(a, b)$ berada pada grafik $f(x)$, maka titik yang bersesuaian pada grafik $-f(x)$ adalah $(a, -b)$.

Domain dan Range

• Domain: Tidak berubah setelah refleksi vertikal
• Range: Berubah menjadi kebalikan dari range asli

Jika range fungsi asli adalah $[c, d]$, maka range setelah refleksi vertikal menjadi $[-d, -c]$.

Contoh Penerapan

Contoh Fungsi Eksponensial

Mari kita lihat refleksi vertikal pada fungsi eksponensial $f(x) = 2^x$.

Pada fungsi eksponensial:

• Asimtot horizontal tetap di $y = 0$ untuk kedua fungsi (karena sumbu x terpantul pada dirinya sendiri)
• Titik potong dengan sumbu y berubah dari $(0, 1)$ menjadi $(0, -1)$
• Fungsi yang semula naik menjadi turun

Refleksi Vertikal pada Fungsi Trigonometri

Mari kita lihat bagaimana refleksi vertikal mempengaruhi fungsi sinus.

Perhatikan bahwa:

• Amplitudo tetap sama tetapi arah gelombang terbalik
• Periode dan frekuensi tidak berubah
• Titik maksimum menjadi titik minimum dan sebaliknya

Latihan

1. Diberikan fungsi $f(x) = x^2 + 4x + 3$. Tentukan persamaan fungsi hasil refleksi vertikal.

2. Jika grafik fungsi $g(x) = 3^x + 2$ direfleksikan terhadap sumbu x, tentukan:

   • Persamaan fungsi hasil refleksi
   • Range fungsi setelah refleksi

3. Fungsi $h(x) = \sqrt{x + 1}$ mengalami refleksi vertikal. Tentukan titik potong dengan sumbu y dari fungsi hasil refleksi.

Kunci Jawaban

1. Refleksi vertikal: $f'(x) = -f(x) = -(x^2 + 4x + 3) = -x^2 - 4x - 3$

   Fungsi $f(x) = x^2 + 4x + 3$ dan Hasil Refleksinya

   Parabola asli yang membuka ke atas direfleksikan menjadi parabola yang membuka ke bawah.

   Toggle GridToggle Play

2. Persamaan fungsi hasil refleksi:

   • Refleksi vertikal: $g'(x) = -(3^x + 2) = -3^x - 2$
   • Range setelah refleksi: Karena range asli $g(x) = 3^x + 2$ adalah $(2, \infty)$, maka range setelah refleksi adalah $(-\infty, -2)$

   Visualisasi:

   Fungsi $g(x) = 3^x + 2$ dan Hasil Refleksinya

   Kurva eksponensial yang naik direfleksikan menjadi kurva yang turun dengan asimtot horizontal baru.

   Toggle GridToggle Play

3. Fungsi asli $h(x) = \sqrt{x + 1}$ memiliki titik potong dengan sumbu y di $(0, 1)$ karena $h(0) = \sqrt{0 + 1} = 1$. Setelah refleksi vertikal: $h'(x) = -\sqrt{x + 1}$, titik potong dengan sumbu y menjadi $(0, -1)$.

   Fungsi $h(x) = \sqrt{x + 1}$ dan Hasil Refleksinya

   Kurva akar kuadrat direfleksikan terhadap sumbu x menghasilkan kurva yang membuka ke bawah.

   Toggle GridToggle Play