Integral Tentu

Dari Perkiraan Menuju Luas Pasti

Pada materi Jumlahan Riemann, kita telah belajar bagaimana memperkirakan luas di bawah kurva dengan membaginya menjadi banyak persegi panjang. Kita juga tahu bahwa semakin banyak persegi panjang yang kita gunakan (nilai $n$ semakin besar), maka perkiraan luas kita akan semakin akurat.

Sekarang, bayangkan jika kita bisa membagi area tersebut menjadi persegi panjang yang tak terhingga banyaknya. Lebar setiap persegi panjang ( $\Delta x$ ) akan menjadi sangat kecil, mendekati nol. Proses mengambil limit saat jumlah partisi $n$ mendekati tak hingga inilah yang mengubah Jumlahan Riemann dari sekadar perkiraan menjadi sebuah perhitungan yang eksak. Konsep inilah yang melahirkan Integral Tentu.

Notasi dan Makna Integral Tentu

Integral tentu adalah cara formal untuk menuliskan "jumlah tak hingga" dari luas persegi panjang yang sangat kecil tersebut. Secara matematis, integral tentu didefinisikan sebagai limit dari Jumlahan Riemann.

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x

Notasi ini memiliki arti spesifik:

$\int_{a}^{b}$ : Ini adalah simbol integral dengan batas bawah $a$ dan batas atas $b$ . Angka-angka ini mendefinisikan interval di mana kita menghitung luas.
$f(x)$ : Ini adalah integran, yaitu fungsi yang kurvanya sedang kita hitung luasnya.
$dx$ : Sama seperti pada integral tak tentu, ini menandakan bahwa kita mengintegrasikan terhadap variabel $x$ .

Berbeda dengan integral tak tentu yang hasilnya adalah sebuah fungsi ( $F(x) + C$ ), hasil dari integral tentu adalah sebuah angka tunggal yang merepresentasikan luas bersih di bawah kurva dari $x=a$ hingga $x=b$ .

Menghitung Integral Tentu dengan Limit

Mari kita coba menghitung nilai pasti dari integral tentu menggunakan definisi limitnya, seperti pada contoh di gambar referensi.

Soal: Tentukan nilai dari $\int_{0}^{7} x \, dx$ .

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan ini, kita akan mengubahnya kembali ke bentuk limit dari Jumlahan Riemann.

Langkah 1: Tentukan komponen Jumlahan Riemann

Dari soal $\int_{0}^{7} x \, dx$ , kita tahu:

Fungsi: $f(x) = x$
Interval: $[a, b] = [0, 7]$

Maka, lebar setiap subinterval adalah:

\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{7-0}{n} = \frac{7}{n}

Kita akan menggunakan titik sampel ujung kanan ( $x_i$ ) untuk setiap partisi:

x_i = a + i \Delta x = 0 + i \left(\frac{7}{n}\right) = \frac{7i}{n}

Langkah 2: Susun Jumlahan Riemann

Tinggi setiap persegi panjang adalah $f(x_i)$ , jadi:

f(x_i) = x_i = \frac{7i}{n}

Sekarang, kita masukkan ke dalam formula Jumlahan Riemann:

\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{7i}{n}\right) \left(\frac{7}{n}\right) = \sum_{i=1}^{n} \frac{49i}{n^2}

Langkah 3: Sederhanakan dan gunakan properti notasi sigma

Kita bisa mengeluarkan konstanta dari sigma, karena $n$ dianggap konstan dalam penjumlahan dari $i=1$ sampai $n$ .

\frac{49}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i

Selanjutnya, kita ganti $\sum_{i=1}^{n} i$ dengan rumus jumlah deretnya, yaitu $\frac{n(n+1)}{2}$ , lalu kita sederhanakan ekspresinya untuk mempermudah perhitungan limit.

\frac{49}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}

= \frac{49n(n+1)}{2n^2}

= \frac{49(n+1)}{2n}

= \frac{49}{2} \left( \frac{n+1}{n} \right) = \frac{49}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)

Langkah-langkah penyederhanaan di atas memastikan kita mendapatkan bentuk yang paling mudah untuk dihitung limitnya. Pertama kita kanselasi $n$ dari pembilang dan penyebut, kemudian kita pisahkan pecahannya.

Untuk menyelesaikan limit dari Jumlahan Riemann, seringkali kita memerlukan beberapa rumus jumlah deret umum:

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

Langkah 4: Ambil Limitnya

Terakhir, kita ambil limit saat $n \to \infty$ untuk menemukan luas pastinya.

\int_{0}^{7} x \, dx = \lim_{n \to \infty} \frac{49}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)

= \frac{49}{2} \left( 1 + 0 \right)

= \frac{49}{2}

Jadi, luas pasti daerah di bawah kurva $f(x) = x$ dari $x=0$ sampai $x=7$ adalah 49/2 atau 24.5. Ini adalah contoh bagaimana integral tentu memberikan jawaban yang eksak, bukan lagi perkiraan.

Command Palette

Dari Perkiraan Menuju Luas Pasti

Notasi dan Makna Integral Tentu

Menghitung Integral Tentu dengan Limit