Karakteristik Polinomial

Definisi dan Konsep Dasar

Untuk mencari nilai eigen suatu matriks, kita memerlukan alat matematika yang sangat penting dalam aljabar linear. Bayangkan kita ingin mencari semua nilai $\lambda$ yang membuat matriks $A - \lambda I$ menjadi singular (tidak dapat diinversi).

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ . Kita dapat membentuk fungsi khusus:

\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I)

\chi_A(t) = a_n \cdot t^n + a_{n-1} \cdot t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0

Fungsi ini adalah polinomial berderajat $n$ dalam $t \in \mathbb{K}$ , yang kita sebut polinomial karakteristik dari $A$ .

dengan koefisien $a_0, \ldots, a_{n-1}, a_n \in \mathbb{K}$ .

Faktanya, $\chi_A(t)$ benar-benar merupakan polinomial berderajat $n$ untuk setiap matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ .

Jejak Matriks dan Koefisien Polinomial

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ adalah matriks persegi. Jejak dari $A$ adalah jumlah dari elemen-elemen diagonal:

\text{jejak} A = \sum_{i=1}^n a_{ii}

Jejak matriks memiliki hubungan erat dengan koefisien polinomial karakteristik.

Hubungan Koefisien dengan Jejak dan Determinan

Dalam polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ dari $A$ , koefisien-koefisiennya memiliki makna khusus:

a_n = (-1)^n, \quad a_{n-1} = (-1)^{n-1} \cdot \text{jejak} A, \quad a_0 = \det A

Ini berarti:

Koefisien tertinggi selalu $(-1)^n$
Koefisien kedua tertinggi terkait dengan jejak matriks
Suku konstanta adalah determinan matriks

Nilai Eigen sebagai Akar Polinomial

Konsep paling penting dari polinomial karakteristik adalah hubungannya dengan nilai eigen.

Sekarang, mari kita lihat hubungan yang sangat penting: $\lambda \in \mathbb{K}$ adalah nilai eigen dari $A$ jika dan hanya jika $\det(A - \lambda \cdot I) = 0$ .

Dengan kata lain, nilai eigen adalah akar-akar dari polinomial karakteristik.

Persamaan untuk $t \in \mathbb{K}$ :

\det(A - t \cdot I) = 0

kita sebut persamaan karakteristik dari $A$ .

Multiplisitas Aljabar

Sekarang, bagaimana jika sebuah nilai eigen muncul beberapa kali sebagai akar polinomial karakteristik? Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dan $\lambda \in \mathbb{K}$ . Multiplisitas dari akar $t = \lambda$ dari polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ disebut multiplisitas aljabar $\mu_A(\lambda)$ dari nilai eigen $\lambda$ dari $A$ . Kita katakan $\lambda$ adalah nilai eigen dengan multiplisitas $\mu_A(\lambda)$ dari $A$ .

Batasan Multiplisitas

Untuk setiap nilai eigen $\lambda$ , berlaku:

0 \leq \mu_A(\lambda) \leq n

Hubungan Multiplisitas Geometrik dan Aljabar

Salah satu hasil penting dalam teori nilai eigen adalah hubungan antara multiplisitas geometrik dan aljabar.

Untuk setiap matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dan $\lambda \in \mathbb{K}$ , kita memiliki hubungan yang menarik:

0 \leq \dim \text{Eig}_A(\lambda) \leq \mu_A(\lambda) \leq n

Multiplisitas geometrik setiap nilai eigen selalu lebih kecil atau sama dengan multiplisitas aljabarnya.

Mengapa ini terjadi? Hal ini dapat dijelaskan dengan menggunakan transformasi basis dan bentuk blok Jordan.

Contoh Perhitungan Polinomial Karakteristik

Setelah memahami konsep-konsep dasar, mari kita lihat bagaimana menerapkannya dalam contoh konkret perhitungan polinomial karakteristik:

Contoh Matriks 3x3

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{3 \times 3}$ . Polinomial karakteristik dari $A$ adalah:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 3-t & 2 & -1 \\ 1 & -t & -4 \\ 3 & 0 & 1-t \end{pmatrix}

= (3-t) \cdot (-t) \cdot (1-t) - 2 \cdot (1 \cdot (1-t) + 3 \cdot 4) + 1 \cdot 3 \cdot t

= -3t + 3t^2 + t^2 - t^3 - 2 + 2t - 24 - 3t

= -t^3 + 4t^2 - 4t - 26

Untuk $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , $\chi_A(t)$ hanya memiliki akar $\lambda_1 \approx -1.8003$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(\lambda_1) = 1$ .

Untuk $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ , $\chi_A(t)$ memiliki akar $\lambda_1 \approx -1.8003$ , $\lambda_2 \approx 2.9001 + 2.4559i$ , dan $\lambda_3 \approx 2.9001 - 2.4559i$ dengan multiplisitas aljabar masing-masing $\mu_A(\lambda_1) = \mu_A(\lambda_2) = \mu_A(\lambda_3) = 1$ .

Contoh Sederhana

Polinomial karakteristik dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ adalah:

\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = \det \begin{pmatrix} 1-t & 2 \\ 0 & 1-t \end{pmatrix}

= (1-t) \cdot (1-t) - 0 \cdot 2 = (1-t)^2

= t^2 - 2 \cdot t + 1

Matriks ini memiliki akar $\lambda = 1$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(1) = 2$ . $\lambda = 1$ adalah satu-satunya nilai eigen dari $A$ . Kita telah menghitung bahwa $\dim \text{Eig}_A(1) = 1$ .

Contoh Transformasi Geometrik

Sekarang, mari kita jelajahi sesuatu yang menarik: bagaimana polinomial karakteristik bekerja pada transformasi geometrik yang sering kita temui di $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ :

Rotasi

Rotasi dengan $A = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$ memiliki polinomial karakteristik:

\chi_A(t) = (\cos(\alpha) - t)^2 + \sin(\alpha)^2 = t^2 - 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot t + 1

Ini memiliki akar real jika dan hanya jika $\cos(\alpha)^2 - 1 \geq 0$ , yaitu $\cos(\alpha)^2 = 1$ , sehingga $\alpha = 0$ atau $\alpha = \pi$ .

Refleksi

Refleksi pada sumbu dengan $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ memiliki polinomial karakteristik:

\chi_A(t) = (1-t) \cdot (-1-t) = t^2 - 1

Nilai eigen adalah $\lambda_1 = 1$ dan $\lambda_2 = -1$ dengan $\mu_A(1) = \mu_A(-1) = 1$ .

Peregangan

Peregangan dengan $A = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}$ memiliki polinomial karakteristik:

\chi_A(t) = (s-t)^2 = t^2 - 2 \cdot s \cdot t + s^2

Nilai eigen adalah $\lambda = s$ dengan $\mu_A(s) = 2$ .

Geseran

Geseran dengan $A = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dengan $s \neq 0$ memiliki polinomial karakteristik:

\chi_A(t) = (1-t)^2 = t^2 - 2 \cdot t + 1

Nilai eigen adalah $\lambda = 1$ dengan $\mu_A(1) = 2$ .

Sifat Matriks Serupa

Matriks-matriks serupa memiliki sifat yang sangat menarik: mereka memiliki polinomial karakteristik yang sama, dan karena itu memiliki nilai eigen yang sama, jejak yang sama, dan determinan yang sama.

Mari kita lihat mengapa hal ini benar. Misalkan $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dapat diinversi dan $B = S^{-1} \cdot A \cdot S$ . Maka:

\chi_B(t) = \det(B - t \cdot I) = \det(S^{-1} \cdot A \cdot S - t \cdot S^{-1} \cdot I \cdot S)

= \det(S^{-1} \cdot (A - t \cdot I) \cdot S)

= \det S^{-1} \cdot \det(A - t \cdot I) \cdot \det S = \chi_A(t)

Sifat Vektor Eigen Matriks Serupa

Sekarang, bagaimana dengan vektor eigen dari matriks serupa? Misalkan $A, B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ adalah matriks serupa dengan $B = S^{-1} \cdot A \cdot S$ dan matriks invertible $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ . Jika $\lambda \in \mathbb{K}$ adalah nilai eigen dari $A$ dan $B$ , dan $v \in \mathbb{K}^n$ adalah vektor eigen dari $A$ untuk nilai eigen $\lambda$ , maka $w = S^{-1} \cdot v$ adalah vektor eigen dari $B$ untuk nilai eigen $\lambda$ .

Mari kita lihat mengapa ini benar. Misalkan $A \cdot v = \lambda \cdot v$ dan $w = S^{-1} \cdot v$ . Maka:

B \cdot w = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot S^{-1} \cdot v = S^{-1} \cdot A \cdot v

= S^{-1} \cdot \lambda \cdot v = \lambda \cdot S^{-1} \cdot v = \lambda \cdot w

Ini menunjukkan bahwa transformasi keserupaan tidak hanya mempertahankan nilai eigen, tetapi juga memberikan cara sistematis untuk mengubah vektor eigen.

Command Palette