Nilai Eigen dari Matriks Diagonal dan Segitiga

Matriks Diagonal dan Sifat Khususnya

Untuk matriks diagonal, nilai eigen bisa langsung dibaca dari entri diagonal utamanya. Ini adalah salah satu keistimewaan paling menarik dalam aljabar linear.

Nilai eigen dari matriks diagonal kuadrat atau matriks segitiga $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a_{nn} \end{pmatrix}

\text{atau } A = \begin{pmatrix} a_{11} & * \\ & \ddots & \\ 0 & & a_{nn} \end{pmatrix}

\text{atau } A = \begin{pmatrix} a_{11} & & 0 \\ & \ddots & \\ * & & a_{nn} \end{pmatrix}

adalah entri diagonal utamanya:

\lambda_1 = a_{11}, \ldots, \lambda_n = a_{nn}

Mengapa hal ini benar? Karena $\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = (a_{11} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ dengan akar-akar $a_{11}, \ldots, a_{nn}$ .

Sifat ini sangat memudahkan kita karena tidak perlu menghitung determinan atau menyelesaikan persamaan karakteristik yang kompleks.

Matriks Segitiga Atas dan Bawah

Matriks segitiga memiliki sifat yang sama dengan matriks diagonal. Baik matriks segitiga atas maupun segitiga bawah, nilai eigennya tetap merupakan entri diagonal utama.

Hal ini terjadi karena ketika kita menghitung $\det(A - tI)$ , entri di atas atau di bawah diagonal utama tidak mempengaruhi hasil perhitungan determinan. Struktur segitiga membuat determinan bisa dihitung sebagai perkalian entri diagonal.

Contoh Perhitungan Langsung

Mari kita lihat beberapa contoh konkret untuk memahami konsep ini dengan lebih baik.

Nilai Eigen Kompleks

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -1 \\ 1 & 1-t \end{pmatrix}

= (1-t) \cdot (1-t) - 1 \cdot (-1) = t^2 - 2t + 2

yang memiliki akar $\lambda_1 = 1 + i$ dan $\lambda_2 = 1 - i$ .

Nilai Eigen Nol

Untuk $A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$ , polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -i \\ i & 1-t \end{pmatrix}

= (1-t) \cdot (1-t) - i \cdot (-i) = t^2 - 2t

dengan akar $\lambda_1 = 2$ dan $\lambda_2 = 0$ .

Faktorisasi Polinomial Karakteristik

Ketika matriks $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ memiliki $n$ nilai eigen yang tidak harus berbeda $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{C}$ , polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ bisa difaktorkan sebagai:

\chi_A(t) = (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n - t)

Jumlah multiplisitas aljabar dari semua nilai eigen adalah $n$ :

\sum_{\lambda \in \mathbb{C}} \mu_A(\lambda) = n

Dalam bentuk yang lebih kompak:

\chi_A(t) = \prod_{\lambda \in \mathbb{C}} (\lambda - t)^{\mu_A(\lambda)}

Sifat ini berlaku secara alami untuk nilai eigen kompleks dari matriks dengan entri real. Nilai eigen bisa berupa bilangan real atau berpasangan kompleks konjugat.

Hubungan Determinan dan Jejak

Ada hubungan fundamental antara nilai eigen dengan determinan dan jejak matriks. Jika polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ dapat difaktorkan secara linear di $\mathbb{K}$ , yang berarti matriks $A$ memiliki $n$ nilai eigen $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}$ , maka:

\det A = \prod_{i=1}^n \lambda_i

\text{tr} A = \sum_{i=1}^n \lambda_i

Determinan adalah hasil kali semua nilai eigen, sementara jejak adalah jumlah semua nilai eigen.

Mari kita verifikasi dengan contoh sebelumnya:

Untuk $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dengan $\lambda_1 = 1 + i$ , $\lambda_2 = 1 - i$ :

\det A = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) = 2 = \lambda_1 \cdot \lambda_2

\text{tr} A = 1 + 1 = 2 = \lambda_1 + \lambda_2

Untuk $A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$ dengan $\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = 0$ :

\det A = 1 \cdot 1 - i \cdot (-i) = 0 = \lambda_1 \cdot \lambda_2

\text{tr} A = 1 + 1 = 2 = \lambda_1 + \lambda_2

Hubungan ini sangat berguna untuk verifikasi perhitungan dan memberikan wawasan geometris tentang transformasi linear yang diwakili oleh matriks.

Command Palette