Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Ruang Eigen

Definisi Konsep Fundamental

Dalam aljabar linear, kita sering tertarik dengan vektor-vektor khusus yang memiliki sifat istimewa ketika dikalikan dengan matriks. Bayangkan vektor yang hanya "diregangkan" atau "dipendekkan" oleh matriks, tetapi arahnya tidak berubah.

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ adalah matriks persegi. Sebuah vektor eigen $v \in \mathbb{K}^n$ untuk nilai eigen $\lambda \in \mathbb{K}$ adalah vektor tak nol $v \neq 0$ yang memenuhi:

Persamaan ini menunjukkan bahwa ketika matriks $A$ mengoperasikan vektor $v$, hasilnya adalah kelipatan skalar dari vektor yang sama.

Menurut definisi, nilai eigen dapat sama dengan 0, tetapi vektor eigen selalu tak nol.

Sifat Dasar Vektor Eigen

Vektor eigen memiliki sifat-sifat fundamental yang sangat berguna dalam berbagai aplikasi matematik.

Perkalian Skalar: Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dan $v \in \mathbb{K}^n$ dengan $v \neq 0$ adalah vektor eigen dari $A$ untuk nilai eigen $\lambda \in \mathbb{K}$. Maka semua kelipatan $t \cdot v$ dengan $t \neq 0$ juga merupakan vektor eigen dari $A$ untuk nilai eigen yang sama $\lambda$.

Mengapa hal ini benar? $A \cdot (t \cdot v) = t \cdot (A \cdot v) = t \cdot (\lambda \cdot v) = \lambda \cdot (t \cdot v)$

Sifat ini menunjukkan bahwa jika kita menemukan satu vektor eigen, maka semua kelipatan tak nolnya juga adalah vektor eigen untuk nilai eigen yang sama.

Contoh Perhitungan Vektor Eigen

Mari kita lihat beberapa contoh konkret untuk memahami konsep ini lebih baik:

Matriks Diagonal

Untuk matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$:

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ adalah vektor eigen untuk nilai eigen $\lambda_1 = 1$, karena $A \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot v_1$

$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ adalah vektor eigen untuk nilai eigen $\lambda_2 = 2$, karena $A \cdot v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot v_2$

Matriks Simetris

Untuk matriks $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$:

$v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ adalah vektor eigen untuk nilai eigen $\lambda_1 = 2$, karena $A \cdot v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot v_1$

$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ adalah vektor eigen untuk nilai eigen $\lambda_2 = 4$, karena $A \cdot v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4 \cdot v_2$

Kebebasan Linear Vektor Eigen

Salah satu hasil penting dalam teori vektor eigen adalah bahwa vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berbeda selalu bebas linear.

Ada hasil yang sangat penting dalam kebebasan linear vektor eigen. Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dan $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ adalah nilai-nilai eigen yang berbeda berpasangan dari $A$, yaitu $\lambda_i \neq \lambda_j$ untuk $i \neq j$ dengan $i, j \in \{1, \ldots, k\}$. Maka vektor-vektor eigen yang bersesuaian $v_1, \ldots, v_k \in \mathbb{K}^n$ adalah bebas linear.

Teorema ini dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika dan memiliki konsekuensi penting bahwa matriks $n \times n$ memiliki paling banyak $n$ nilai eigen yang berbeda.

Ruang Eigen dan Multiplisitas Geometrik

Untuk setiap nilai eigen, kita dapat mendefinisikan ruang vektor yang terdiri dari semua vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut.

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dan $\lambda \in \mathbb{K}$. Himpunan:

disebut ruang eigen dari $A$ untuk nilai eigen $\lambda$. Dimensi dari $\text{Eig}_A(\lambda)$:

disebut multiplisitas geometrik dari nilai eigen $\lambda$ dari $A$.

Sifat-sifat Ruang Eigen

Ruang eigen memiliki beberapa sifat penting:

1. Vektor nol bukan vektor eigen: Vektor nol bukan vektor eigen, tetapi merupakan elemen dari $\text{Eig}_A(\lambda)$

2. Himpunan vektor eigen: $\text{Eig}_A(\lambda) \setminus \{0\}$ adalah himpunan semua vektor eigen dari $A$ yang bersesuaian dengan $\lambda$

3. Kondisi nilai eigen: $\lambda$ adalah nilai eigen dari $A$ jika dan hanya jika $\text{Eig}_A(\lambda) \neq \{0\}$

4. Batasan dimensi: $0 \leq \dim \text{Eig}_A(\lambda) \leq n$

5. Hubungan dengan kernel: $\text{Eig}_A(0) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = 0\} = \ker A$

6. Ruang eigen umum: $\text{Eig}_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : (A - \lambda \cdot I) \cdot v = 0\} = \ker(A - \lambda \cdot I)$

7. Perpotongan ruang eigen: Jika $\lambda_1 \neq \lambda_2$, maka $\text{Eig}_A(\lambda_1) \cap \text{Eig}_A(\lambda_2) = \{0\}$

Hubungan dengan Invertibilitas

Nilai eigen memiliki hubungan erat dengan sifat invertibilitas matriks.

Sekarang, mari kita lihat hubungan menarik antara invertibilitas dan nilai eigen. Matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dapat diinversi jika dan hanya jika semua nilai eigen $\lambda \in \mathbb{K}$ dari $A$ memenuhi $\lambda \neq 0$.

Mengapa hal ini benar? $A$ dapat diinversi jika dan hanya jika $\text{Rang} A = n$, yang berarti $\text{Eig}_A(0) = \ker A = \{0\}$, sehingga $\lambda = 0$ bukan nilai eigen dari $A$.

Nilai Eigen Matriks Invers

Jika matriks $A$ dapat diinversi dan $v \neq 0$ adalah vektor eigen dari $A$ untuk nilai eigen $\lambda \in \mathbb{K}$, maka $v$ juga merupakan vektor eigen dari $A^{-1}$ untuk nilai eigen $\frac{1}{\lambda}$.

Mengapa hal ini benar? Dari $A \cdot v = \lambda \cdot v$, dengan mengalikan $A^{-1}$ dan $\frac{1}{\lambda}$, diperoleh $\frac{1}{\lambda} \cdot v = A^{-1} \cdot v$.

Kriteria Invertibilitas

Mari kita lihat berbagai cara untuk mengetahui apakah matriks dapat diinversi. Untuk matriks persegi $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$, pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

1. $A$ dapat diinversi
2. Terdapat matriks $A^{-1} \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dengan $A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A$
3. $A$ memiliki peringkat penuh, $\text{Rang} A = n$ atau $\ker A = \{0\}$
4. Kolom-kolom dari $A$ bebas linear
5. Baris-baris dari $A$ bebas linear
6. $\det A \neq 0$
7. Semua nilai eigen dari $A$ tidak sama dengan 0

Teorema ini memberikan berbagai cara equivalent untuk memeriksa apakah suatu matriks dapat diinversi, dengan nilai eigen menjadi salah satu kriteria yang sangat berguna.