Matriks Kompleks

Definisi Matriks dengan Entri Kompleks

Sama seperti matriks dengan entri real, kita juga dapat membentuk matriks yang entri-entrinya berupa bilangan kompleks. Bayangkan sebuah tabel persegi panjang yang berisi bilangan-bilangan kompleks yang tersusun rapi dalam baris dan kolom.

Sebuah skema persegi panjang bilangan kompleks dengan $m \in \mathbb{N}$ baris dan $n \in \mathbb{N}$ kolom disebut matriks kompleks $m \times n$ :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} = (a_{ij})_{\substack{i=1,\ldots,m \\ j=1,\ldots,n}}

dengan koefisien $a_{ij} \in \mathbb{C}$ untuk $i = 1, \ldots, m$ dan $j = 1, \ldots, n$ . Himpunan semua matriks kompleks $m \times n$ ditulis sebagai $\mathbb{C}^{m \times n}$ .

Perbedaan utama dengan matriks real adalah bahwa setiap entri $a_{ij}$ sekarang dapat berupa bilangan kompleks seperti $2 + 3i$ atau $-1 - 4i$ .

Matriks Adjoint

Dalam konteks matriks kompleks, konsep transpose matriks diperluas menjadi konsep yang lebih umum yang disebut matriks adjoint. Konsep ini merupakan generalisasi kompleks dari matriks transpose $A^T$ .

Misalkan $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ adalah matriks kompleks $m \times n$ . Matriks adjoint (matriks konjugat transpose) $A^H$ dari $A$ adalah matriks kompleks $n \times m$ yang diperoleh dengan menukar baris dan kolom dari $A$ dan mengambil konjugat kompleks dari setiap entri:

A^H = \overline{A^T} = \overline{A}^T = \begin{pmatrix} \overline{a_{11}} & \cdots & \overline{a_{m1}} \\ \vdots & & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{mn}} \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{n \times m}

Proses ini melibatkan dua langkah: pertama transpose matriks (tukar baris dan kolom), kemudian ambil konjugat kompleks dari setiap entri.

Sifat-sifat Matriks Adjoint

Matriks adjoint memiliki beberapa sifat penting yang berguna dalam perhitungan. Berikut adalah sifat-sifat fundamental yang selalu berlaku:

Sifat Dasar

Hubungan dengan transpose real: Untuk $A \in \mathbb{R}^{m \times n} \subset \mathbb{C}^{m \times n}$ , berlaku $A^H = A^T$

Ini masuk akal karena jika matriks hanya berisi entri real, maka konjugat kompleks tidak mengubah nilainya.

Involusi: $(A^H)^H = A$

Jika kita mengambil adjoint dari adjoint, kita kembali ke matriks asal.

Sifat Operasi Linear

Linearitas penjumlahan: $(A + B)^H = A^H + B^H$
Linearitas perkalian skalar: $(\lambda \cdot A)^H = \overline{\lambda} \cdot A^H$

Perhatikan bahwa untuk perkalian skalar, kita perlu mengambil konjugat dari skalar $\lambda$ .

Sifat Perkalian

Sifat antikomutatif perkalian: $(A \cdot B)^H = B^H \cdot A^H$

Sifat ini menunjukkan bahwa adjoint dari hasil kali matriks adalah hasil kali adjoint matriks-matriks tersebut dalam urutan terbalik.

Norma Euclidean pada Ruang Kompleks

Untuk vektor dalam ruang kompleks, kita memerlukan cara untuk mengukur "panjang" atau norma vektor tersebut. Konsep norma Euclidean diperluas untuk ruang kompleks menggunakan matriks adjoint.

Untuk $v \in \mathbb{C}^n$ , kita definisikan:

v^H v = \sum_{i=1}^n \overline{v_i} v_i = \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \in \mathbb{R}_0^+

Norma Euclidean dihitung sebagai:

\|v\|_2 = \sqrt{v^H v}

Ini mendefinisikan norma pada $\mathbb{C}^n$ , yaitu norma Euclidean $\|\cdot\|_2 : \mathbb{C}^n \to \mathbb{R} : v \mapsto \|v\|_2$ .

Sifat-sifat Norma Euclidean

Norma Euclidean memenuhi sifat-sifat berikut:

Homogenitas: $\|\alpha v\|_2 = |\alpha| \|v\|_2$

Definit positif: $\|v\|_2 \geq 0$ dan $\|v\|_2 = 0 \Leftrightarrow v = 0$

Ketidaksamaan segitiga: $\|v + w\|_2 \leq \|v\|_2 + \|w\|_2$

Sifat-sifat ini menjamin bahwa $\|\cdot\|_2$ benar-benar merupakan norma dalam pengertian matematika yang formal.

Command Palette