Ruang Vektor Kompleks

Pengenalan Bilangan Kompleks

Sebelum memahami ruang vektor kompleks, kita perlu memahami bilangan kompleks terlebih dahulu. Bayangkan kita memiliki unit imajiner $i$ dengan sifat khusus $i^2 = -1$ . Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bagian real dan bagian imajiner.

Himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai $\mathbb{C} := \{z = x + iy : x, y \in \mathbb{R}\}$ . Dalam setiap bilangan kompleks $z = x + iy$ , bagian $x = \text{Re}(z)$ disebut bagian real dan bagian $y = \text{Im}(z)$ disebut bagian imajiner.

Dengan menggunakan sifat $i^2 = -1$ , kita dapat melakukan operasi aritmetika pada bilangan kompleks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Himpunan $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ membentuk sebuah lapangan (field).

Konjugat dan Modulus

Untuk bilangan kompleks $z = x + iy$ , konjugat kompleks didefinisikan sebagai $\overline{z} = x - iy$ . Konjugat ini berguna dalam berbagai perhitungan.

Modulus atau nilai mutlak dari bilangan kompleks dihitung dengan rumus:

|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} = \sqrt{x^2 + y^2}

Modulus ini memberikan "jarak" bilangan kompleks dari titik asal dalam bidang kompleks.

Teorema Fundamental Aljabar

Teorema fundamental aljabar merupakan hasil penting yang membedakan polinomial kompleks dari polinomial real. Teorema ini menyatakan bahwa setiap polinomial tidak konstan dengan koefisien kompleks pasti memiliki akar kompleks.

Sekarang, mari kita lihat hasil yang sangat penting. Setiap polinomial tidak konstan

p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0, \quad z \in \mathbb{C}

dengan derajat $n \geq 1$ dan koefisien kompleks $a_k \in \mathbb{C}$ untuk $k = 0, 1, \ldots, n$ dengan $a_n \neq 0$ , memiliki setidaknya satu akar kompleks. Ini berarti terdapat bilangan $z_* \in \mathbb{C}$ sehingga $p(z_*) = 0$ .

Teorema ini sangat penting karena menjamin bahwa dalam lapangan bilangan kompleks, setiap persamaan polinomial selalu memiliki solusi.

Definisi dan Aksioma Ruang Vektor Kompleks

Setelah memahami bilangan kompleks, kita dapat memperluas konsep ruang vektor dari skalar real ke skalar kompleks. Ruang vektor tidak hanya dapat didefinisikan dengan skalar dari $\mathbb{R}$ , tetapi juga dari lapangan lain seperti $\mathbb{C}$ .

Suatu himpunan $V$ dengan operasi penjumlahan

+ : V \times V \to V : (x, y) \mapsto x + y

dan operasi perkalian skalar

\cdot : \mathbb{C} \times V \to V : (\lambda, x) \mapsto \lambda \cdot x

disebut ruang vektor kompleks jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

Aksioma Penjumlahan Vektor

Asosiatif: $(x + y) + z = x + (y + z)$ untuk semua $x, y, z \in V$
Komutatif: $x + y = y + x$ untuk semua $x, y \in V$
Elemen Netral: Terdapat elemen $0 \in V$ sehingga $x + 0 = x = 0 + x$ untuk semua $x \in V$
Elemen Invers: Untuk setiap $x \in V$ terdapat elemen $-x \in V$ sehingga $x + (-x) = 0 = (-x) + x$

Aksioma Perkalian Skalar

Asosiatif perkalian: $(\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu \cdot x)$ untuk semua $\lambda, \mu \in \mathbb{C}, x \in V$
Elemen satuan: $1 \cdot x = x$ untuk semua $x \in V$

Aksioma Distributif

Distributif terhadap penjumlahan vektor: $\lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$ untuk semua $\lambda \in \mathbb{C}, x, y \in V$
Distributif terhadap penjumlahan skalar: $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$ untuk semua $\lambda, \mu \in \mathbb{C}, x \in V$

Elemen-elemen $x \in V$ disebut vektor, sementara elemen-elemen $\lambda \in \mathbb{C}$ disebut skalar.

Perbedaan dengan Ruang Vektor Real

Penting untuk memahami bahwa dalam ruang vektor kompleks, kita tidak menggunakan sifat-sifat khusus bilangan real seperti urutan atau analisis real. Semua hasil yang berlaku untuk ruang vektor tetap berlaku untuk ruang vektor kompleks, terutama yang berkaitan dengan matriks, sistem persamaan linear, dan determinan.

Perbedaan utama terletak pada lapangan skalar yang digunakan. Ruang vektor real menggunakan $\mathbb{R}$ sebagai lapangan skalar, sedangkan ruang vektor kompleks menggunakan $\mathbb{C}$ yang memberikan fleksibilitas lebih dalam perhitungan.

Command Palette