Aturan Cramer

Penyelesaian Sistem Linear

Aturan Cramer adalah metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan determinan. Metode ini memberikan cara langsung untuk menghitung solusi sistem persamaan linear ketika matriks koefisiennya dapat dibalik.

Metode ini sangat berguna untuk memahami hubungan antara determinan dan solusi sistem linear, meskipun secara komputasi kurang efisien dibandingkan eliminasi Gauss untuk sistem besar.

Matriks Komplementer

Sebelum membahas aturan Cramer, kita perlu memahami konsep matriks komplementer yang menjadi dasar dari metode ini.

Untuk matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , matriks komplementer didefinisikan sebagai:

\tilde{A} = (\tilde{a}_{ij})_{i=1,\ldots,n \atop j=1,\ldots,n} \in \mathbb{R}^{n \times n}

dengan elemen-elemen:

\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det A_{ji}

Perhatikan bahwa indeks dalam $A_{ji}$ bertukar posisi (bukan $A_{ij}$ ).

Matriks komplementer $\tilde{A}$ adalah matriks yang terdiri dari kofaktor-kofaktor dari matriks $A$ , tetapi dengan posisi yang ditranspose.

Struktur Matriks Komplementer

Matriks komplementer memiliki struktur sebagai berikut:

\tilde{A} = \begin{pmatrix} \det A_{11} & -\det A_{21} & \det A_{31} & \cdots \\ -\det A_{12} & \det A_{22} & -\det A_{32} & \cdots \\ \det A_{13} & -\det A_{23} & \det A_{33} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}

Setiap elemen dihitung dengan mengambil determinan submatriks yang sesuai, kemudian diberikan tanda berdasarkan pola papan catur $(-1)^{i+j}$ .

Sifat Fundamental Matriks Komplementer

Salah satu sifat terpenting dari matriks komplementer adalah hubungannya dengan matriks asli:

A \cdot \tilde{A} = \tilde{A} \cdot A = \begin{pmatrix} \det A & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \det A & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \det A \end{pmatrix}

Dengan kata lain:

A \cdot \tilde{A} = (\det A) \cdot I

Sifat ini sangat penting karena memberikan hubungan langsung antara matriks, matriks komplementernya, dan determinannya.

Formula Invers Matriks

Dari sifat fundamental di atas, kita dapat menurunkan formula invers matriks menggunakan matriks komplementer.

Jika matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ dapat dibalik, maka:

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{A}

Namun perhitungan invers matriks menggunakan formula ini jauh lebih tidak efisien dibandingkan eliminasi Gauss untuk matriks berukuran besar.

Contoh untuk Matriks 2×2

Untuk matriks $n = 2$ :

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Determinannya adalah:

\det A = a \cdot d - b \cdot c

Matriks komplementernya adalah:

\tilde{A} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Sehingga inversnya adalah:

A^{-1} = \frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Kita dapat memverifikasi bahwa:

A \cdot A^{-1} = \frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \begin{pmatrix} a \cdot d - b \cdot c & -a \cdot b + a \cdot b \\ c \cdot d - c \cdot d & -c \cdot b + a \cdot d \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Pernyataan Teorema

Sekarang kita dapat merumuskan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Misalkan $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ adalah matriks yang dapat dibalik dan $a^1, a^2, \ldots, a^n \in \mathbb{R}^n$ adalah kolom-kolom dari $A$ . Untuk vektor $b \in \mathbb{R}^n$ , solusi $x \in \mathbb{R}^n$ dari sistem persamaan linear $A \cdot x = b$ diberikan oleh:

x_j = \frac{\det(a^1 \; \ldots \; a^{j-1} \; b \; a^{j+1} \; \ldots \; a^n)}{\det A}

untuk $j = 1, 2, \ldots, n$ .

Untuk menghitung komponen ke- $j$ dari solusi $x$ , kita mengganti kolom ke- $j$ dari matriks $A$ dengan vektor $b$ , kemudian menghitung determinan matriks yang dimodifikasi ini dan membaginya dengan determinan matriks $A$ asli.

Bukti Menggunakan Pengembangan Laplace

Bukti aturan Cramer menggunakan pengembangan Laplace dan sifat matriks komplementer.

Untuk $j = 1, \ldots, n$ :

x_j = (A^{-1} \cdot b)_j = \sum_{i=1}^{n} (A^{-1})_{ji} \cdot b_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{a}_{ji} \cdot b_i

= \frac{1}{\det A} \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot \det A_{ij} \cdot b_i

= \frac{1}{\det A} \cdot \det(a^1 \; \ldots \; a^{j-1} \; b \; a^{j+1} \; \ldots \; a^n)

berdasarkan pengembangan Laplace terhadap kolom ke-j.

Contoh Penerapan

Mari kita lihat contoh konkret penerapan aturan Cramer:

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 20 \\ 40 \\ 30 \end{pmatrix}

Karena:

\det A = 1 \cdot ((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1)

+ (-1) \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) = -4 \neq 0

matriks $A$ dapat dibalik dan sistem memiliki solusi unik.

Menurut aturan Cramer:

x_1 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 20 & 1 & -1 \\ 40 & -1 & 1 \\ 30 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{-120}{-4} = 30

x_2 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 20 & -1 \\ 1 & 40 & 1 \\ -1 & 30 & 1 \end{pmatrix} = \frac{-100}{-4} = 25

x_3 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 20 \\ 1 & -1 & 40 \\ -1 & 1 & 30 \end{pmatrix} = \frac{-140}{-4} = 35

Verifikasi menunjukkan bahwa $A \cdot x - b = 0$ .

Sifat Solusi untuk Matriks Integer

Jika $A \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ adalah matriks yang dapat dibalik dengan elemen bilangan bulat dan $b \in \mathbb{Z}^n$ adalah vektor dengan elemen bilangan bulat, maka elemen-elemen dari invers $A^{-1}$ dan solusi $x$ dari sistem $A \cdot x = b$ adalah bilangan rasional dengan penyebut yang (jika tidak disingkat) sama dengan $|\det A|$ .

Hal ini terjadi karena dalam perhitungan determinan hanya dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, sehingga determinan matriks bilangan bulat selalu bilangan bulat. Dalam formula invers dan aturan Cramer, satu-satunya operasi pembagian adalah pembagian dengan $\det A$ .

Command Palette