Teorema Pengembangan Laplace

Apa itu Teorema Pengembangan Laplace?

Teorema Pengembangan Laplace memberikan cara untuk menghitung determinan matriks dengan memecahnya menjadi determinan matriks yang lebih kecil. Metode ini sangat berguna karena memungkinkan kita menghitung determinan matriks berukuran besar secara sistematis.

Teorema ini memberikan fleksibilitas dalam memilih baris atau kolom mana yang akan digunakan untuk pengembangan, sehingga kita dapat memilih yang paling menguntungkan untuk perhitungan.

Pernyataan Teorema

Untuk matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , determinan dapat dihitung dengan dua cara:

Pengembangan Berdasarkan Kolom

Selain pengembangan berdasarkan kolom ke- $j$ , determinan dapat dihitung dengan rumus:

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}

untuk setiap kolom $j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ yang dipilih.

Pengembangan Berdasarkan Baris

Determinan juga dapat dihitung berdasarkan baris ke- $i$ :

\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}

untuk setiap baris $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ yang dipilih.

Contoh Pengembangan

Matriks 2×2

Untuk matriks berukuran $n = 2$ :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

Pengembangan berdasarkan baris pertama:

\det A = a_{11} \cdot \det(a_{22}) - a_{12} \cdot \det(a_{21})

= a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}

Matriks 3×3

Untuk matriks berukuran $n = 3$ :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

Pengembangan berdasarkan baris pertama:

\det A = a_{11} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

- a_{12} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix}

+ a_{13} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}

Setelah menghitung determinan-determinan $2 \times 2$ :

= a_{11} \cdot (a_{22} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{32})

- a_{12} \cdot (a_{21} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{31})

+ a_{13} \cdot (a_{21} \cdot a_{32} - a_{22} \cdot a_{31})

Jika kita kembangkan secara penuh:

= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}

- a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}

+ a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}

Aturan Sarrus

Hasil pengembangan matriks $3 \times 3$ di atas sesuai dengan Aturan Sarrus. Aturan ini memberikan cara visual untuk menghitung determinan $3 \times 3$ melalui pola diagonal.

Rumus Sarrus untuk matriks $3 \times 3$ :

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}

- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Aturan Sarrus menggunakan pola diagonal untuk menentukan suku-suku mana yang dijumlahkan dan mana yang dikurangkan.

Kompleksitas Komputasi

Kompleksitas perhitungan determinan menggunakan pengembangan Laplace sangat tinggi. Untuk matriks berukuran $n \times n$ , jumlah operasi perkalian yang diperlukan adalah:

n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \cdot (n-1)

= n! \cdot (n-1)

Ini menunjukkan bahwa kompleksitas algoritma adalah faktorial, yang sangat tidak efisien untuk matriks berukuran besar.

Pemanfaatan Elemen Nol

Ketika matriks memiliki banyak elemen nol, kita dapat memilih pengembangan sedemikian rupa sehingga subdeterminan dengan elemen nol tidak perlu dihitung. Hal ini dapat mengurangi beban perhitungan secara signifikan.

Contoh Optimisasi

Misalkan kita memiliki matriks:

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Pengembangan berdasarkan baris pertama:

\det A = 0 \cdot \det(\ldots) - 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

+ 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Karena elemen pertama nol, perhitungannya menjadi:

= -3 \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + 3 \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1)

= -3 \cdot 2 + 3 \cdot (-2)

= -6 - 6 = -12

Dengan memilih baris atau kolom yang memiliki banyak nol, kita dapat menghemat perhitungan.

Determinan Matriks Transpos

Salah satu sifat penting yang terkait dengan teorema Laplace adalah:

\det A^T = \det A

Ini berarti determinan matriks sama dengan determinan transposnya.

Konsekuensi untuk Baris dan Kolom

Karena sifat transpos ini, semua sifat determinan yang berlaku untuk baris matriks $A$ juga berlaku untuk kolom matriks $A$ .

Misalnya:

Jika dua baris identik maka determinan nol, demikian juga jika dua kolom identik
Menukar dua baris mengubah tanda determinan, begitu pula menukar dua kolom
Operasi baris elementer dan operasi kolom elementer memiliki efek yang sama terhadap determinan

Matriks Berukuran Lebih Besar

Untuk matriks berukuran $n = 4$ dan seterusnya, prinsip pengembangan Laplace tetap berlaku. Namun kompleksitas perhitungannya menjadi sangat tinggi, sehingga dalam praktik sering digunakan metode lain yang lebih efisien seperti eliminasi Gauss.

Teorema Pengembangan Laplace memberikan fondasi teoretis yang solid untuk memahami struktur determinan, meskipun dalam aplikasi praktis mungkin digantikan oleh algoritma yang lebih efisien.

Command Palette