Diagonalisasi Matriks

Konsep Diagonalisasi Matriks

Dalam teori matriks, kita sering mencari cara untuk menyederhanakan bentuk matriks agar lebih mudah dianalisis dan dihitung. Diagonalisasi adalah salah satu teknik paling ampuh untuk mencapai hal ini. Bayangkan seperti mengubah ruang yang rumit menjadi ruang yang lebih teratur dimana setiap dimensi tidak saling mengganggu.

Tujuan utama diagonalisasi adalah mencari basis khusus sehingga transformasi linear $y = A \cdot x$ dapat direpresentasikan melalui matriks diagonal $B = S^{-1} \cdot A \cdot S$. Jika basis tersebut adalah basis ortonormal, maka matriks transformasi memiliki sifat $S^{-1} = S^T$.

Definisi Diagonalisasi

Sebuah matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ disebut dapat didiagonalisasi jika matriks tersebut serupa dengan suatu matriks diagonal $\Lambda \in \mathbb{K}^{n \times n}$, yaitu jika terdapat matriks yang dapat dibalik $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ sedemikian sehingga:

Kondisi Dasar Diagonalisasi

Kapan sebuah matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ bisa didiagonalisasi? Jawabannya adalah ketika kita bisa menemukan basis dari $\mathbb{K}^n$ yang seluruhnya terdiri dari vektor eigen $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n$ dari $A$ dengan nilai eigen yang berkaitan $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}$.

Matriks diagonal $\Lambda$ adalah:

dan $S$ adalah matriks dengan kolom:

Jika $A$ dapat didiagonalisasi, maka kolom $v_1, \ldots, v_n$ dari $S$ membentuk basis vektor eigen. Dari $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$ kita peroleh $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ dan dengan demikian $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ untuk $i = 1, \ldots, n$.

Sebaliknya, jika $v_1, \ldots, v_n$ adalah basis vektor eigen, maka $S$ dapat dibalik dan dari $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ untuk $i = 1, \ldots, n$ kita peroleh $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ dan dengan demikian $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$.

Contoh Kasus Non-Diagonalisasi

Perhatikan matriks:

Matriks ini memiliki nilai eigen $\lambda = 1$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(1) = 2$. Ruang eigen adalah kernel (ruang nol) dari $A - 1 \cdot I$, yaitu himpunan semua vektor yang dipetakan ke vektor nol oleh matriks tersebut:

Di sini rentang dari vektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ adalah himpunan semua kelipatan skalar dari vektor tersebut, yang memiliki dimensi 1. Karena tidak ada nilai eigen dan vektor eigen lain, dan tidak terdapat basis $\mathbb{K}^2$ dari vektor eigen $A$, maka $A$ tidak dapat didiagonalisasi.

Syarat Diagonalisasi Matriks

Jika matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dapat didiagonalisasi, maka polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ dari $A$ dalam $\mathbb{K}$ terurai menjadi faktor linear:

dimana $A$ memiliki $n$ nilai eigen yang tidak perlu berbeda $\lambda_i \in \mathbb{K}$.

Ketika semua nilai eigen berbeda, prosesnya menjadi lebih sederhana. Jika $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dan polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ dari $A$ dalam $\mathbb{K}$ terurai menjadi faktor linear:

dengan nilai eigen yang berbeda secara berpasangan $\lambda_i \neq \lambda_j$ untuk $i \neq j$ dengan $i, j \in \{1, \ldots, n\}$, maka $A$ pasti dapat didiagonalisasi.

Mengapa begitu? Karena vektor eigen untuk nilai eigen yang berbeda secara berpasangan dari $A$ selalu bebas linear dan membentuk basis dari $\mathbb{K}^n$.

Tapi bagaimana kalau $A$ memiliki nilai eigen berulang? Kita harus lebih hati-hati mengeceknya. Nilai eigen memiliki multiplisitas aljabar $\mu_A(\lambda_i)$ dan multiplisitas geometris $\dim \text{Eig}_A(\lambda_i)$ dengan hubungan:

Teorema Karakterisasi Diagonalisasi

Untuk matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$, pernyataan berikut adalah ekuivalen:

1. $A$ dapat didiagonalisasi.

2. Kedua kondisi berikut terpenuhi. Pertama, polinomial karakteristik dari $A$ harus terurai dalam faktor linear:

   $$\chi_A(t) = (\lambda_1 - t)^{\mu_A(\lambda_1)} \cdots (\lambda_k - t)^{\mu_A(\lambda_k)}$$

   dengan nilai eigen yang berbeda secara berpasangan $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ dari $A$. Kedua, untuk semua nilai eigen dari $A$, multiplisitas aljabar harus sama dengan multiplisitas geometris:

   $$\mu_A(\lambda_i) = \dim \text{Eig}_A(\lambda_i) \quad \text{untuk } i = 1, \ldots, k$$

3. Penjumlahan langsung semua ruang eigen adalah seluruh ruang vektor:

   $$\text{Eig}_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus \text{Eig}_A(\lambda_k) = \mathbb{K}^n$$

   Ini berarti terdapat basis dari $\mathbb{K}^n$ yang terdiri dari vektor eigen $A$.

Untuk setiap $i = 1, \ldots, k$, misalkan $v_1^{(i)}, \ldots, v_{d_i}^{(i)}$ adalah basis vektor eigen dari $A$ untuk ruang eigen $\text{Eig}_A(\lambda_i)$. Maka:

adalah basis dari $\mathbb{K}^n$ yang terdiri dari vektor eigen $A$. Oleh karena itu, $A$ dapat didiagonalisasi.