Prosedur Dasar untuk Diagonalisasi

Prosedur Umum Diagonalisasi Matriks

Bayangkan kamu sedang mencoba mengatur ulang sebuah ruang yang berantakan menjadi teratur. Diagonalisasi matriks mirip seperti itu, kita mengubah matriks yang kompleks menjadi bentuk diagonal yang jauh lebih sederhana untuk dianalisis.

Untuk mendiagonalisasi sebuah matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$, kita menggunakan prosedur sistematis yang akan menentukan apakah matriks tersebut dapat disederhanakan dan bagaimana caranya.

Langkah-Langkah Diagonalisasi

Prosedur diagonalisasi terdiri dari tiga langkah utama yang harus dilakukan secara berurutan:

1. Menghitung polinomial karakteristik untuk mencari semua nilai eigen $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ beserta multiplisitas aljabarnya $\mu_A(\lambda_1), \ldots, \mu_A(\lambda_k)$.

   Langkah ini seperti mencari "kunci-kunci" yang akan membuka struktur tersembunyi matriks. Syarat mutlak yang harus dipenuhi adalah polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ harus terurai sepenuhnya dalam faktor linear, artinya:

   $$\sum_{i=1}^k \mu_A(\lambda_i) = n$$

   Jika tidak, maka matriks tidak dapat didiagonalisasi sama sekali.

2. Menghitung ruang eigen untuk setiap nilai eigen dengan menyelesaikan sistem persamaan linear homogen:

   $$(A - \lambda_i \cdot I) \cdot v = 0$$

   Di sini kita mencari semua vektor yang "bertahan" ketika matriks $A$ bekerja padanya, hanya mengubah panjangnya sebesar faktor $\lambda_i$ tanpa mengubah arahnya.

3. Memeriksa kondisi diagonalisasi dengan memverifikasi apakah multiplisitas aljabar sama dengan multiplisitas geometris untuk semua nilai eigen. Secara matematis, untuk semua $i = 1, \ldots, k$ harus berlaku $\mu_A(\lambda_i) = \dim \text{Eig}_A(\lambda_i)$.

   Kondisi ini memastikan kita memiliki cukup vektor eigen independen untuk membentuk basis lengkap. Jika terpenuhi, vektor basis dari semua ruang eigen membentuk kolom matriks transformasi $S$, menghasilkan:

   $$\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$$

Contoh Aplikasi Prosedur

Perhatikan matriks:

Mari kita terapkan prosedur diagonalisasi pada contoh konkret ini:

1. Kita hitung polinomial karakteristik untuk menemukan "kunci-kunci" nilai eigen:

   $$\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = -t^3 + t^2 + t - 1$$

   Setelah difaktorkan, kita peroleh:

   $$\chi_A(t) = (1 - t)^2 \cdot (-1 - t)$$

   Dari sini terlihat bahwa nilai eigen adalah $\lambda_1 = 1$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(1) = 2$ dan $\lambda_2 = -1$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(-1) = 1$. Karena $2 + 1 = 3$ sama dengan dimensi matriks, syarat awal terpenuhi.

2. Kita cari semua vektor yang "bertahan" terhadap transformasi untuk setiap nilai eigen:

   $$\text{Eig}_A(1) = \text{Kern}(A - I) = \text{rentang}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}$$

   $$\text{Eig}_A(-1) = \text{Kern}(A + I) = \text{rentang}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$

   Di sini kernel (ruang nol) adalah himpunan semua vektor yang dipetakan ke vektor nol oleh matriks, sedangkan rentang dari sekumpulan vektor adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut.

3. Kita periksa apakah kondisi diagonalisasi terpenuhi. Untuk nilai eigen $\lambda_1 = 1$, multiplisitas aljabarnya adalah 2 dan ruang eigennya memiliki dimensi 2 (dua vektor basis independen). Untuk nilai eigen $\lambda_2 = -1$, multiplisitas aljabarnya adalah 1 dan ruang eigennya memiliki dimensi 1.

   Karena $\mu_A(1) = 2 = \dim \text{Eig}_A(1)$ dan $\mu_A(-1) = 1 = \dim \text{Eig}_A(-1)$, kondisi diagonalisasi terpenuhi sepenuhnya.

Sekarang kita dapat membentuk matriks transformasi $S$ dengan menyusun semua vektor eigen sebagai kolom, dan matriks diagonal $\Lambda$ dengan nilai eigen di diagonal utama:

Dengan demikian, matriks $A$ berhasil didiagonalisasi menjadi $\Lambda$ melalui transformasi $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$.

Diagonalisasi berarti terdapat basis vektor eigen, dimana matriks transformasi basis $S$ dapat dibalik. Hasil ini menunjukkan bahwa prosedur sistematis yang kita gunakan dapat menentukan dengan pasti apakah suatu matriks dapat didiagonalisasi dan bagaimana cara melakukannya.