Teorema Spektral

Konsep Dasar Matriks Normal

Teorema spektral menjawab pertanyaan penting kapan sebuah matriks dapat didiagonalisasi menggunakan basis ortonormal dari vektor eigen. Bayangkan kamu ingin mengubah matriks rumit menjadi matriks diagonal sederhana, tetapi menggunakan vektor basis yang saling tegak lurus. Teorema spektral memberikan kondisi yang tepat kapan transformasi ini dimungkinkan.

Ketika kondisi ini terpenuhi, matriks transformasi basis akan menjadi kesatuan dengan sifat $S^{-1} = S^H$ atau ortogonal dengan sifat $S^{-1} = S^T$ untuk kasus riil. Kita akan mulai dengan mempelajari kasus kompleks terlebih dahulu.

Sebuah matriks kompleks $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ disebut normal jika memenuhi kondisi komutativitas dengan konjugat transposnya:

Kondisi ini terlihat sederhana, tapi sebenarnya sangat kuat. Matriks yang dapat "bertukar tempat" dengan konjugat transposnya memiliki sifat geometri yang istimewa.

Sifat Khusus Ruang Eigen Matriks Normal

Matriks normal memiliki sifat menarik yang tidak dimiliki matriks sembarang. Untuk matriks normal, ruang nol dari matriks dan ruang nol dari konjugat transposnya ternyata identik.

Mari kita lihat mengapa hal ini terjadi. Ruang nol (kernel) adalah himpunan semua vektor $x$ yang menghasilkan $Ax = 0$. Jika $A^H A = A A^H$ dan $Ax = 0$, maka kita dapat menganalisis seperti ini:

Dari perhitungan ini, kita menyimpulkan bahwa $A^H x = 0$. Oleh karena itu, untuk matriks normal berlaku $\text{Kern}A^H = \text{Kern}A$.

Kesamaan ruang nol ini membawa konsekuensi penting pada ruang eigen. Untuk setiap nilai eigen $\lambda \in \mathbb{C}$, ruang eigen dari $A$ dan $A^H$ ternyata identik.

Jadi setiap vektor eigen dari matriks normal $A$ untuk nilai eigen $\lambda$ juga merupakan vektor eigen dari $A^H$ dengan nilai eigen yang persis sama. Bayangkan seperti menemukan dua cermin yang memantulkan cahaya ke arah yang sama persis.

Matriks Hermitian dan Kesatuan sebagai Contoh Normal

Dua jenis matriks penting yang selalu normal adalah matriks hermitian dan matriks kesatuan. Mari kita pahami mengapa keduanya istimewa.

Matriks Hermitian dan Nilai Eigen Riil

Matriks hermitian memiliki sifat $A^H = A$. Karena definisi normal $A \cdot A^H = A^H \cdot A$, maka untuk hermitian kita punya $A \cdot A = A \cdot A$, yang jelas selalu benar.

Nilai eigen matriks hermitian selalu riil. Untuk memahami ini, kita gunakan fakta bahwa untuk matriks normal, ruang eigen $A$ dan $A^H$ untuk nilai eigen yang sama adalah identik.

Kondisi $\lambda = \overline{\lambda}$ berarti nilai eigen sama dengan konjugat kompleksnya, yang hanya terjadi jika $\lambda$ adalah bilangan riil murni. Jadi semua nilai eigen matriks hermitian selalu berupa bilangan riil, bukan bilangan kompleks dengan bagian imajiner.

Matriks Kesatuan dan Nilai Eigen pada Lingkaran Satuan

Matriks kesatuan memiliki sifat $A^H = A^{-1}$. Untuk membuktikan bahwa kesatuan juga normal, kita substitusi ke definisi dan dapatkan $A \cdot A^H = A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A = A^H \cdot A$.

Nilai eigen matriks kesatuan memiliki besaran 1, artinya terletak pada lingkaran satuan di bidang kompleks. Kita bisa menunjukkan hal ini dengan perhitungan berikut.

Kondisi $\lambda \cdot \overline{\lambda} = 1$ secara matematis sama dengan $|\lambda|^2 = 1$, yang berarti $|\lambda| = 1$. Jadi semua nilai eigen matriks kesatuan memiliki modulus tepat sama dengan 1. Modulus ini adalah jarak dari titik nol di bidang kompleks. Bayangkan seperti roda yang berputar, transformasi kesatuan hanya memutar vektor tanpa mengubah panjangnya.