Matriks Ortogonal dan Uniter

Mengenal Matriks Ortogonal dan Uniter

Matriks ortogonal dan uniter adalah jenis matriks yang sangat istimewa. Bayangkan mereka seperti transformasi yang sangat "bersih" yang tidak mengubah jarak dan sudut dalam ruang, hanya memutar atau memantulkan objek.

Perbedaannya sederhana. Matriks ortogonal bekerja dengan bilangan real, sedangkan matriks uniter bekerja dengan bilangan kompleks. Keduanya punya sifat yang sama, cuma versi yang berbeda saja.

Definisi Matematis

Matriks Ortogonal

Matriks kuadrat real $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ disebut ortogonal kalau:

A^{-1} = A^T

Artinya, untuk mendapat invers matriks ini, kita cukup transpose saja. Sangat praktis kan?

Ini sama artinya dengan:

A^T A = A A^T = I

Matriks Uniter

Matriks kuadrat kompleks $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ disebut uniter kalau:

A^{-1} = A^H

Di sini $A^H$ adalah conjugate transpose dari $A$ . Konsepnya mirip, cuma untuk bilangan kompleks.

Ini juga ekuivalen dengan:

A^H A = A A^H = I

Matriks ortogonal real sebenarnya adalah kasus khusus dari matriks uniter, karena $\mathbb{R}^{n \times n} \subset \mathbb{C}^{n \times n}$ .

Sifat Determinan yang Menarik

Yang menarik dari matriks ortogonal dan uniter adalah determinannya selalu punya nilai absolut 1. Kenapa bisa begitu?

Untuk matriks uniter $A$ , kita punya $A^H A = I$ . Kalau kita hitung determinannya:

1 = \det I = \det(A^H A) = \det A^H \cdot \det A = \overline{\det A} \cdot \det A = |\det A|^2

Jadi $|\det A| = 1$ . Untuk matriks ortogonal, cara buktikannya sama, cuma pakai $A^T A = I$ .

Nilai Eigen yang Istimewa

Nilai eigen dari matriks ortogonal dan uniter juga punya sifat khusus. Setiap nilai eigen $\lambda$ selalu memenuhi:

|\lambda| = 1

Mengapa demikian? Misalkan $A \cdot v = \lambda \cdot v$ untuk vektor eigen $v \neq 0$ . Untuk kasus kompleks, kita bisa hitung:

v^H v = v^H A^H A v = (A \cdot v)^H (A \cdot v) = (\lambda \cdot v)^H (\lambda \cdot v)

= \overline{\lambda} \cdot \lambda \cdot v^H v = |\lambda|^2 \cdot v^H v

Karena $v^H v \neq 0$ , maka $|\lambda|^2 = 1$ , sehingga $|\lambda| = 1$ .

Bentuk Nilai Eigen

Untuk matriks ortogonal real, nilai eigennya bisa 1 atau -1 kalau real. Tapi kalau kompleks, bentuknya bisa ditulis sebagai:

\lambda = \exp(i\varphi) = \cos \varphi + i \sin \varphi

Ini artinya nilai eigen kompleks terletak di lingkaran unit di bidang kompleks.

Contoh Konkret Matriks Rotasi

Mari lihat contoh yang familiar yaitu matriks rotasi:

A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}

Kita bisa cek bahwa ini matriks ortogonal:

A^T A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & \cos \alpha(-\sin \alpha) + \sin \alpha \cos \alpha \\ (-\sin \alpha) \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & (-\sin \alpha)(-\sin \alpha) + \cos^2 \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Mencari Nilai Eigen

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} \cos \alpha - t & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha - t \end{pmatrix}

= (\cos \alpha - t)^2 + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2t \cos \alpha + t^2

= 1 - 2t \cos \alpha + t^2

Nilai eigennya adalah:

\lambda_{1,2} = \cos \alpha \pm \sqrt{\cos^2 \alpha - 1} = \cos \alpha \pm \sqrt{-\sin^2 \alpha} = \cos \alpha \pm i \sin \alpha

Hasilnya adalah $\lambda_{1,2} = e^{\pm i\alpha}$ .

Transformasi $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 : x \mapsto A \cdot x$ menggambarkan rotasi sebesar sudut $\alpha$ . Untuk $\alpha \neq 0$ dan $\alpha \neq \pi$ , matriks ini tidak punya nilai eigen real, tapi punya dua nilai eigen kompleks.

Command Palette