Matriks Simetris dan Hermitian

Definisi Simetris dan Hermitian

Dalam aljabar linear, kita mengenal dua jenis matriks khusus yang memiliki sifat sangat menarik. Bayangkan sebuah cermin yang memantulkan objek dengan sempurna. Matriks simetris dan Hermitian memiliki sifat "cermin" matematis yang serupa.

Matriks persegi real $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ disebut simetris jika sama dengan transposnya:

A^T = A

Sedangkan matriks persegi kompleks $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ disebut Hermitian jika sama dengan adjoinnya:

A^H = A

Mari kita lihat contoh untuk memahami konsep ini lebih jelas:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}

Perhatikan bahwa elemen di posisi $(i,j)$ sama dengan elemen di posisi $(j,i)$ . Misalnya $a_{12} = a_{21} = 2$ dan $a_{13} = a_{31} = 3$ .

Hubungan Simetris dan Hermitian

Setiap matriks simetris real sebenarnya juga merupakan matriks Hermitian kompleks. Mengapa demikian? Karena ketika kita menganggap matriks real sebagai matriks kompleks, konjugat kompleks dari bilangan real adalah bilangan itu sendiri.

Matriks simetris real adalah kasus khusus dari matriks Hermitian kompleks.

Ini berarti semua sifat yang berlaku untuk matriks Hermitian juga berlaku untuk matriks simetris. Namun, matriks simetris memiliki keuntungan tambahan karena semua elemennya real.

Diagonal Matriks Hermitian

Salah satu sifat menarik dari matriks Hermitian adalah bahwa semua elemen diagonalnya selalu berupa bilangan real. Mari kita lihat mengapa hal ini terjadi.

Untuk matriks Hermitian $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ , kita punya $A^H = A$ . Ini berarti untuk setiap elemen diagonal:

a_{ii} = \overline{a_{ii}}

Karena $a_{ii} = \overline{a_{ii}}$ , maka $a_{ii} \in \mathbb{R}$ untuk semua $i$ .

Jadi, meskipun matriks Hermitian bisa memiliki elemen kompleks di luar diagonal, elemen diagonalnya pasti real. Ini adalah konsekuensi langsung dari definisi Hermitian.

Bentuk Kuadrat

Matriks simetris dan Hermitian memiliki keistimewaan dalam hal bentuk kuadrat. Mari kita lihat bagaimana mereka bekerja dengan vektor.

Jika kita memiliki matriks simetris $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ dan vektor $x \in \mathbb{R}^n$ , maka kita dapat membentuk fungsi kuadrat:

q : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

q(x) = x^T A x

Untuk matriks Hermitian $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ , hasil $x^H A x$ selalu menghasilkan bilangan real, meskipun $A$ dan $x$ kompleks.

Mari kita buktikan mengapa hal ini terjadi:

x^H A x = x^H A x

= (x^H A x)^H

= x^H A^H (x^H)^H

= x^H A^H x

= x^H A x

Karena $x^H A x = (x^H A x)^H$ , maka $x^H A x$ adalah bilangan real.

Jadi kita mendapatkan bentuk kuadrat untuk kasus kompleks:

q : \mathbb{C}^n \to \mathbb{R}

q(x) = x^H A x

Sifat Dasar Vektor

Sebelum membahas nilai eigen, mari kita pahami sifat dasar vektor yang akan kita gunakan. Untuk vektor $x \in \mathbb{R}^n$ atau $x \in \mathbb{C}^n$ , kita memiliki:

x^T x \geq 0 \text{ dan } x^H x \geq 0

x^T x = 0 \Leftrightarrow x = 0

x^H x = 0 \Leftrightarrow x = 0

Hal ini karena:

x^T x = \sum_{k=1}^n x_k^2

x^H x = \sum_{k=1}^n \overline{x_k} x_k = \sum_{k=1}^n |x_k|^2

Kedua bentuk ini selalu non-negatif dan hanya bernilai nol jika semua komponen vektor adalah nol.

Nilai Eigen Selalu Real

Inilah salah satu sifat paling menakjubkan dari matriks simetris dan Hermitian. Semua nilai eigen dari matriks simetris atau Hermitian selalu berupa bilangan real.

Mari kita lihat pembuktiannya. Misalkan $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ adalah matriks Hermitian dengan $A^H = A$ . Jika $A \cdot v = \lambda \cdot v$ dengan $v \neq 0$ , maka:

\lambda \cdot v^H v = v^H (\lambda \cdot v)

= v^H (A \cdot v)

= v^H A v

= v^H A^H v

= (A \cdot v)^H v

= (\lambda \cdot v)^H v

= \overline{\lambda} \cdot v^H v

Karena $v^H v \neq 0$ , kita dapat menyimpulkan bahwa $\lambda = \overline{\lambda}$ , sehingga $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Untuk matriks simetris real, karena ia juga merupakan matriks Hermitian, nilai eigennya juga selalu real.

Ortogonalitas Vektor Eigen

Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berbeda pada matriks simetris atau Hermitian selalu ortogonal satu sama lain. Ini adalah sifat yang sangat berguna dalam berbagai aplikasi.

Mari kita buktikan sifat ini. Misalkan $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ adalah matriks Hermitian dengan:

A v = \lambda v \text{ dengan } v \neq 0

A w = \mu w \text{ dengan } w \neq 0

\lambda \neq \mu

Kita tahu bahwa $\overline{\mu} = \mu$ karena nilai eigen real. Sekarang:

\mu (w^H v) = \mu (w^H v)

= (\mu w)^H v

= (A w)^H v

= w^H A^H v

= w^H A v

= w^H (\lambda v)

= \lambda (w^H v)

Jadi $(\mu - \lambda)(w^H v) = 0$ . Karena $\lambda \neq \mu$ , maka $w^H v = 0$ , yang berarti vektor eigen ortogonal.

Untuk matriks simetris real, kita punya $w^T v = 0$ .

Sifat ortogonalitas ini memungkinkan kita untuk mendiagonalkan matriks simetris dan Hermitian menggunakan matriks ortogonal atau uniter.

Command Palette