Matriks Definit Positif

Definisi Positif dan Semidefinit

Bayangkan kita memiliki sebuah mangkuk yang selalu mengarah ke atas. Tidak peduli dari arah mana kita melemparkan bola ke dalamnya, bola tersebut akan selalu menggelinding ke titik terendah. Matriks definit positif memiliki sifat yang mirip dengan mangkuk ini dalam ruang matematika.

Sebuah matriks simetris $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ atau matriks Hermitian $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ disebut positif semidefinit jika:

Matriks disebut positif definit jika kondisi yang lebih kuat terpenuhi:

Sebaliknya, matriks disebut negatif semidefinit jika $-A$ adalah positif semidefinit, dan negatif definit jika $-A$ adalah positif definit. Matriks yang tidak positif maupun negatif semidefinit disebut indefinit.

Sifat Geometris Elipsoid

Mengapa konsep ini penting? Mari kita lihat dari sudut pandang geometris yang menarik.

Jika $A$ adalah matriks definit positif, maka himpunan:

membentuk sebuah elipsoid dalam ruang $n$ dimensi dengan pusat di titik origin. Bentuk elipsoid ini memberikan gambaran visual tentang bagaimana matriks tersebut "meregangkan" ruang di berbagai arah.

Secara khusus, jika $A = \frac{1}{r^2} I$ dimana $I$ adalah matriks identitas, maka $E$ menjadi sebuah bola dengan jari-jari $r$.

Sifat Elemen Diagonal

Salah satu sifat sederhana namun penting dari matriks definit positif adalah bahwa semua elemen diagonalnya harus positif.

Jika $A$ adalah matriks definit positif, maka semua elemen diagonal $a_{ii} > 0$ untuk $i = 1, 2, \ldots, n$.

Mengapa demikian? Karena jika kita ambil vektor basis standar $e_i$ yang hanya memiliki komponen 1 pada posisi ke-$i$ dan 0 di tempat lain, maka:

Namun, kondisi ini tidak cukup untuk menjamin definit positif. Kita bisa memiliki matriks dengan semua elemen diagonal positif tetapi tidak definit positif.

Kriteria Nilai Eigen

Cara paling elegant untuk menentukan definit positif adalah melalui nilai eigennya. Mari kita lihat kriteria yang sangat berguna ini.

Sebuah matriks simetris $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ atau Hermitian $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ adalah definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya positif:

Untuk semidefinit positif, semua nilai eigen harus non-negatif ($\lambda_i \geq 0$).

Mengapa hal ini benar? Karena untuk matriks simetris atau Hermitian, kita dapat melakukan diagonalisasi ortogonal. Jika $A = Q \Lambda Q^T$ dimana $\Lambda$ adalah matriks diagonal berisi nilai eigen, maka:

dimana $y = Q^T x$. Ekspresi ini positif untuk semua $x \neq 0$ jika dan hanya jika semua $\lambda_i > 0$.

Kriteria Minor Utama

Ada cara praktis lain untuk memeriksa definit positif tanpa harus menghitung nilai eigen. Metode ini disebut kriteria minor utama atau Hauptminorenkriterium.

Misalkan $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ adalah matriks simetris. Untuk $k = 1, 2, \ldots, n$, definisikan minor utama ke-$k$ sebagai:

Ini adalah submatriks kiri-atas berukuran $k \times k$ dari matriks $A$. Determinan dari $A_k$ disebut minor utama ke-$k$.

Matriks simetris $A$ adalah definit positif jika dan hanya jika semua minor utamanya positif:

Penting untuk dicatat bahwa kriteria minor utama ini hanya mendeteksi definit positif, bukan semidefinit positif.

Contoh Penerapan

Mari kita lihat beberapa contoh untuk memahami konsep ini lebih baik.

Matriks Indefinit dengan Nilai Eigen Campuran

Perhatikan matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$. Matriks ini memiliki nilai eigen sekitar $\lambda_1 \approx 7.7202$ dan $\lambda_2 \approx -2.7202$.

Karena ada nilai eigen negatif, matriks ini adalah indefinit. Meskipun elemen diagonalnya (1 dan 4) keduanya positif, hal ini tidak menjamin definit positif.

Matriks Definit Positif dengan Verifikasi

Sekarang perhatikan matriks $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$. Matriks ini memiliki nilai eigen $\lambda_1 \approx 5.6180$ dan $\lambda_2 \approx 3.3820$. Kedua nilai eigen positif, sehingga matriks ini definit positif.

Kita juga dapat memverifikasi dengan kriteria minor utama:

Karena semua minor utama positif, matriks ini definit positif.

Inverse Matriks Definit Positif

Dari contoh sebelumnya, inverse dari matriks definit positif adalah:

Matriks ini memiliki nilai eigen sekitar $\lambda_1 \approx 0.17800$ dan $\lambda_2 \approx 0.29569$. Keduanya positif, sehingga $A^{-1}$ juga definit positif.

Sifat Matriks Transpose

Salah satu hasil penting dalam aljabar linear adalah sifat matriks $A^T A$ untuk matriks persegi panjang.

Jika $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ dengan $m \geq n$, maka matriks $A^T A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ adalah positif semidefinit. Matriks ini menjadi positif definit jika dan hanya jika $A$ memiliki peringkat penuh (peringkat $n$).

Mengapa demikian? Karena untuk setiap vektor $x \in \mathbb{R}^n$:

Ekspresi ini sama dengan nol hanya jika $Ax = 0$. Jika $A$ memiliki peringkat penuh, maka $Ax = 0$ hanya untuk $x = 0$, sehingga $A^T A$ definit positif.

Transformasi Spektral

Konsep yang sangat berguna dalam praktik adalah kemampuan untuk "menggeser" spektrum matriks.

Jika $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ adalah matriks simetris atau $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ adalah matriks Hermitian, dan $t$ adalah bilangan real yang lebih kecil dari semua nilai eigen $A$, maka matriks:

adalah definit positif.

Ini memberikan cara praktis untuk membuat matriks menjadi definit positif dengan menggeser nilai eigennya. Jika kita tahu batas bawah nilai eigen terkecil, kita dapat menggeser spektrum sehingga semua nilai eigen menjadi positif.

Matriks definit positif memiliki peran sentral dalam optimasi, analisis numerik, dan pembelajaran mesin karena sifat geometrisnya yang menjamin adanya minimum global yang unik.