Matrixähnlichkeit

Dieselbe lineare Transformation in verschiedenen Basen

In der linearen Algebra erklärt die Matrixähnlichkeit, wie zwei verschiedene Matrizen dieselbe lineare Transformation in unterschiedlichen Basen darstellen können. Die Einträge ändern sich mit den Koordinaten, die zugrunde liegende Transformation jedoch nicht.

Zwei Matrizen $A, B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ heißen $ähnlich$ , wenn es eine invertierbare Matrix $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ gibt, so dass:

B = S^{-1} \cdot A \cdot S

Die Matrix $S$ ist die Basiswechselmatrix zwischen den beiden Darstellungen.

Basistransformation und Koordinatendarstellung

Ähnliche Matrizen stellen dieselbe lineare Abbildung in zwei verschiedenen Basen dar. Sei $e_1, \ldots, e_n \in \mathbb{K}^n$ die kanonische Basis und $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n$ eine weitere Basis von $\mathbb{K}^n$ .

Wenn $S$ eine invertierbare Matrix mit den Spalten $v_k$ ist:

S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n) \in \mathbb{K}^{n \times n}

Dann haben wir $v_k = S \cdot e_k$ oder $e_k = S^{-1} \cdot v_k$ für $k = 1, \ldots, n$ . Die Matrix $S$ stellt die $Basistransformation$ dar.

Ein Vektor $x \in \mathbb{K}^n$ kann in der kanonischen Basis durch die Koordinaten $x_k$ und in der Basis $v_1, \ldots, v_n$ durch die Koordinaten $\xi_k$ ausgedrückt werden:

x = \sum_{k=1}^n x_k \cdot e_k

Die Matrix $S^{-1}$ repräsentiert die $Koordinatentransformation$ .

Lineare Transformation in verschiedenen Basen

Betrachte nun die lineare Transformation $y = A \cdot x$ . In der kanonischen Basis wird $y$ durch die Koordinaten $y_k$ ausgedrückt, während in der Basis $v_1, \ldots, v_n$ durch die Koordinaten $\eta_k$ ausgedrückt wird:

y = \sum_{k=1}^n y_k \cdot e_k

Deshalb:

S \cdot \eta = y = A \cdot x

$Dieselbe Koordinatenbeziehung$ lässt sich auch wie folgt schreiben.

\eta = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot \xi

In der Basis $v_1, \ldots, v_n$ wird die lineare Transformation $y = A \cdot x$ durch $\eta = B \cdot \xi$ mit der Matrix dargestellt:

B = S^{-1} \cdot A \cdot S

Somit beschreiben ähnliche Matrizen ein und dieselbe lineare Transformation bezüglich verschiedener Basen von $\mathbb{K}^n$ .

Durchgerechnetes Basiswechselbeispiel

Es seien

A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}

$Dieselbe Transformation$ besitzt in der von den Spalten von $S$ gebildeten Basis die Matrix

AS=\begin{pmatrix}2&2\\0&3\end{pmatrix},\qquad S^{-1}AS=\begin{pmatrix}2&2-3\\0&3\end{pmatrix}

Obwohl die Einträge verschieden sind, haben beide Matrizen das charakteristische Polynom $(t-2)(t-3)$ , die Spur $5$ und die Determinante $6$ .

Koordinaten	Eingabe	Ausgabe
Kanonische Basis	$x=(2,1)^T$	$Ax=(4,3)^T$
Neue Basis	$\xi=S^{-1}x=(1,1)^T$	$B\xi=(1,3)^T$

Die Rückumrechnung ergibt $denselben Ausgabevektor$ :

S\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=Ax

Invariante Eigenschaften ähnlicher Matrizen

Da ähnliche Matrizen dieselbe Transformation in verschiedenen Koordinaten beschreiben, $bleiben ihre basisunabhängigen Eigenschaften erhalten$ . Sie besitzen dasselbe charakteristische Polynom, dieselbe Determinante, Spur und denselben Rang sowie dieselben Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit, dasselbe Minimalpolynom und dieselben Jordan-Blockgrößen.

Sie besitzen jedoch nicht zwingend dieselben Einträge, Eigenvektorkoordinaten, dieselbe euklidische Norm, Symmetrie oder Orthogonalität. Diese Eigenschaften können von der gewählten Basis abhängen. Ein unitärer oder orthogonaler Basiswechsel erhält mehr geometrische Struktur als eine allgemeine Ähnlichkeitstransformation.

Unter Ähnlichkeit erhalten	Nicht allgemein erhalten
Charakteristisches Polynom und Minimalpolynom	Matrixeinträge
Eigenwerte und Jordan-Blockgrößen	Koordinatenvektoren der Eigenvektoren
Determinante, Spur und Rang	Euklidische Norm und Symmetrie

Beweis der Determinantengleichheit

$Für die Determinante$ können wir zeigen:

\det(B) = \det(S^{-1} \cdot A \cdot S)

Aus $\det(S^{-1}) = \frac{1}{\det(S)}$ folgt:

\det(B) = \frac{1}{\det(S)} \cdot \det(A) \cdot \det(S)

Korrespondenz der Eigenwerte

Wenn $v \in \mathbb{K}^n$ ein Eigenvektor von $A$ mit dem Eigenwert $\lambda \in \mathbb{K}$ ist, so dass $A \cdot v = \lambda \cdot v$ , dann ist $w = S^{-1} \cdot v$ ein Eigenvektor von $B$ mit $demselben Eigenwert$ :

B \cdot w = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot w

Matrixähnlichkeit erhält das Spektrum. Bei einem Basiswechsel ändern sich die Eigenvektorkoordinaten von $v$ zu $S^{-1}v$ , aber beide Koordinatenvektoren stellen dieselbe geometrische Richtung dar.