Matrixähnlichkeit

In der linearen Algebra erklärt die Matrixähnlichkeit, wie zwei verschiedene Matrizen dieselbe lineare Transformation in unterschiedlichen Basen darstellen können. Die Einträge ändern sich mit den Koordinaten, die zugrunde liegende Transformation jedoch nicht.

Zwei Matrizen $A, B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ gibt, so dass:

Die Matrix $S$ wird in diesem Fall Ähnlichkeitstransformationsmatrix genannt.

Basistransformation und Koordinatendarstellung

Der Zusammenhang wird durch einen Basiswechsel sichtbar. Sei $e_1, \ldots, e_n \in \mathbb{K}^n$ die kanonische Basis und $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n$ eine weitere Basis von $\mathbb{K}^n$.

Wenn $S$ eine invertierbare Matrix mit den Spalten $v_k$ ist:

Dann haben wir $v_k = S \cdot e_k$ oder $e_k = S^{-1} \cdot v_k$ für $k = 1, \ldots, n$. Die Matrix $S$ stellt die Basistransformation dar.

Ein Vektor $x \in \mathbb{K}^n$ kann in der kanonischen Basis durch die Koordinaten $x_k$ und in der Basis $v_1, \ldots, v_n$ durch die Koordinaten $\xi_k$ ausgedrückt werden:

Die Matrix $S^{-1}$ repräsentiert die Koordinatentransformation.

Lineare Transformation in verschiedenen Basen

Betrachten Sie nun die lineare Transformation $y = A \cdot x$. In der kanonischen Basis wird $y$ durch die Koordinaten $y_k$ ausgedrückt, während in der Basis $v_1, \ldots, v_n$ durch die Koordinaten $\eta_k$ ausgedrückt wird:

Deshalb:

oder mit anderen Worten:

In der Basis $v_1, \ldots, v_n$ wird die lineare Transformation $y = A \cdot x$ durch $\eta = B \cdot \xi$ mit der Matrix dargestellt:

Somit beschreiben ähnliche Matrizen ein und dieselbe lineare Transformation bezüglich verschiedener Basen von $\mathbb{K}^n$.

Durchgerechnetes Basiswechselbeispiel

Es seien

Dieselbe Transformation besitzt in der von den Spalten von $S$ gebildeten Basis die Matrix

Obwohl die Einträge verschieden sind, haben beide Matrizen das charakteristische Polynom $(t-2)(t-3)$, die Spur $5$ und die Determinante $6$.

Invariante Eigenschaften ähnlicher Matrizen

Da ähnliche Matrizen dieselbe Transformation in verschiedenen Koordinaten beschreiben, bleiben ihre basisunabhängigen Eigenschaften erhalten. Sie besitzen dasselbe charakteristische Polynom, dieselbe Determinante, Spur und denselben Rang sowie dieselben Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit, dasselbe Minimalpolynom und dieselben Jordan-Blockgrößen.

Sie besitzen jedoch nicht zwingend dieselben Einträge, Eigenvektorkoordinaten, dieselbe euklidische Norm, Symmetrie oder Orthogonalität. Diese Eigenschaften können von der gewählten Basis abhängen. Ein unitärer oder orthogonaler Basiswechsel erhält mehr geometrische Struktur als eine allgemeine Ähnlichkeitstransformation.

Beweis der Determinantengleichheit

Für die Determinante können wir zeigen:

Aus $\det(S^{-1}) = \frac{1}{\det(S)}$ folgt:

Korrespondenz der Eigenwerte

Wenn $v \in \mathbb{K}^n$ ein Eigenvektor von $A$ mit dem Eigenwert $\lambda \in \mathbb{K}$ ist, so dass $A \cdot v = \lambda \cdot v$, dann ist $w = S^{-1} \cdot v$ ein Eigenvektor von $B$ mit demselben Eigenwert:

Damit bleibt das Spektrum unter einem Basiswechsel unverändert. Der Koordinatenvektor eines Eigenvektors ändert sich von $v$ zu $S^{-1}v$, während die dargestellte geometrische Richtung zur selben zugrunde liegenden Transformation gehört.