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Ein Eigenpaar einer quadratischen Matrix erfüllt
Bei einer kleinen symbolischen Matrix kann man lösen. Numerische Software vermeidet es normalerweise, das charakteristische Polynom zu bilden und dessen Nullstellen zu bestimmen. Seine Koeffizienten können empfindlich auf Rundung reagieren. Für große oder dünn besetzte Matrizen gibt es außerdem effizientere Wege, die direkt Matrix-Vektor-Produkte und Faktorisierungen verwenden.
Verschiedene Algorithmen beantworten verschiedene Fragen:
Wähle einen von null verschiedenen Startvektor und normiere ihn. Wiederhole
Der Skalar ist der Rayleigh-Quotient. Für eine diagonalisierbare Matrix mit eindeutig größtem Betrag,
und einen Startvektor mit einer von null verschiedenen Komponente in dominanter Eigenrichtung nähert sich dieser Richtung. Der asymptotische Fehler schrumpft üblicherweise proportional zu
Daraus folgen zwei mögliche Fehlerfälle. Gleiche dominante Beträge können die Konvergenz zu einem einzelnen Vektor verhindern. Ein Startvektor, der orthogonal zum dominanten Eigenraum ist, findet diesen Eigenraum nie.
Brich nicht nur deshalb ab, weil zwei aufeinanderfolgende Eigenwertschätzungen ähnlich aussehen. Prüfe das Eigenpaarresiduum
Eine skalierungsbewusste Bedingung lautet
wobei die geforderte Toleranz ist. Ein kleines Residuum bestätigt, dass das berechnete Paar die Eigenwertgleichung annähernd erfüllt. Es zeigt jedoch nicht allein, welcher benachbarte Eigenwert gefunden wurde.
Betrachte
Der erste Schritt ergibt
Der zweite Schritt ergibt
Die Iterierten nähern sich
Der andere Eigenwert ist . Der erwartete Konvergenzfaktor beträgt daher pro Iteration, sobald der asymptotische Bereich erreicht ist.
Die Potenziteration bevorzugt den größten Betrag. Um einen Eigenwert nahe der Verschiebung zu finden, wiederholt man
Die Eigenwerte von sind . Daher wird der Eigenwert mit dem kleinsten Abstand zu dominant. Bilde die Inverse niemals explizit. Faktorisiere und löse in jeder Iteration ein lineares Gleichungssystem. Bei fester Verschiebung kann die Faktorisierung wiederverwendet werden.
Liegt sehr nahe an einem Eigenwert, ist das verschobene System schlecht konditioniert. Genaue lineare Lösungen und Residuenprüfungen sind deshalb unverzichtbar.
Beginne mit . Berechne in Iteration
Jeder Schritt ist eine orthogonale Ähnlichkeitstransformation und erhält daher die Eigenwerte. Praktische QR-Algorithmen reduzieren eine dichte Matrix zuerst auf Hessenberg-Form, verwenden Verschiebungen und trennen konvergierte Blöcke ab. Bei einer reellen unsymmetrischen Matrix ist das Ergebnis im Allgemeinen eine reelle Schur-Form mit diagonalen - und -Blöcken. Eine symmetrische Matrix wird auf Tridiagonalform reduziert und konvergiert zu einer Diagonalmatrix.
| Ziel und Matrixstruktur | Geeignetes Verfahren | Wichtige Prüfung |
|---|---|---|
| Ein dominantes Eigenpaar | Potenziteration | eindeutig größter Betrag und Startkomponente ungleich null |
| Eigenpaar nahe | Verschobene inverse Iteration | stabile Lösungen mit |
| Mehrere extreme Eigenpaare einer großen symmetrischen dünn besetzten Matrix | Lanczos | Verlust der Orthogonalität und Residuen |
| Mehrere Eigenpaare einer großen unsymmetrischen dünn besetzten Matrix | Arnoldi | Unterraumgröße, Neustarts und Residuen |
| Vollständiges Spektrum einer dichten Matrix | Verschobenes QR-Verfahren zur Schur-Form | konvergierte diagonale oder quasidiagonale Blöcke |
Die abschließende Prüfung richtet sich immer nach den gesuchten Eigenpaaren: Kontrolliere die Residuen, erhalte komplex konjugierte Paare reeller Matrizen und erkläre einen Eigenvektor nicht allein deshalb für genau, weil sich die Eigenwertschätzung stabilisiert hat.
