Orthogonale Polynome

Orthogonalität für Funktionen

Wir betrachten reelle stetige Funktionen auf einem endlichen Intervall $a<b$ und ein integrierbares Gewicht, das im Inneren positiv ist. Integrierbare Singularitäten an den Randpunkten sind erlaubt, wie beim folgenden Chebyshev-Gewicht.

Das gewichtete Skalarprodukt und die zugehörige Norm lauten

\langle f,g\rangle_w=\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx

Zwei Funktionen sind orthogonal, wenn $\langle f,g\rangle_w=0$ gilt. Diese gewichtete $L^2$ -Geometrie misst den gewichteten quadratischen Fehler über das gesamte Intervall.

\begin{aligned} &\|f-g\|_w^2 \\ &=\int_a^b|f(x)-g(x)|^2w(x)\,dx \end{aligned}

Dagegen misst die Maximumsnorm den $größten punktweisen Fehler$ .

\|f-g\|_\infty=\max_{x\in[a,b]}|f(x)-g(x)|

Die orthogonale Projektion minimiert den gewichteten $L^2$ -Fehler. Chebyshev-Polynome besitzen zusätzlich eine eigene Minimax-Eigenschaft. Das gewichtete Skalarprodukt und die Maximumsnorm messen unterschiedliche Fehler.

Projektion auf eine orthogonale Basis

Seien $p_0,\ldots,p_n$ paarweise orthogonal. Die Projektion vom Grad $n$ einer Funktion $f$ lautet

\Pi_n f(x)=\sum_{k=0}^n c_kp_k(x)

Da alle Kreuzterme verschwinden, $kann jeder Koeffizient unabhängig berechnet werden$ . Dies ist das funktionale Gegenstück zur Zerlegung eines Vektors entlang senkrechter Koordinatenachsen.

Die Folge Schritt für Schritt aufbauen

Die Anwendung von Gram-Schmidt auf $1,x,x^2,\ldots$ erzeugt eine Folge monischer orthogonaler Polynome $\pi_k$ . Für ein positives Skalarprodukt gilt

\pi_0(x)=1

Die Rekursionskoeffizienten lauten

\alpha_k=\frac{\langle x\pi_k,\pi_k\rangle_w}{\|\pi_k\|_w^2}

Die Dreitermrekursion und $\beta_k$ gelten für $k\ge1$ .

Die Multiplikation mit $x$ erhöht den Grad um eins. Die Orthogonalität entfernt alle Komponenten unterhalb von $\pi_{k-1}$ , deshalb enthält die Rekursionsformel nur $drei Terme$ .

Polynome nach Tschebyschow erster Art

Wähle auf $[-1,1]$

w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

T_0(x)=1,\qquad T_1(x)=x

Ihre gewichtete Orthogonalität lautet

\begin{aligned} &\int_{-1}^{1}\frac{T_j(x)T_k(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \\ &=\begin{cases}\pi,&j=k=0,\\\frac{\pi}{2},&j=k>0,\\0,&j\ne k.\end{cases} \end{aligned}

Da $|T_k(x)|\le1$ auf $[-1,1]$ gilt und der Leitkoeffizient für $k\ge1$ gleich $2^{k-1}$ ist, hat das monische Polynom $2^{1-k}T_k$ unter allen monischen Polynomen vom Grad $k$ die $kleinste Maximumsnorm$ . Es löst damit das Minimax-Approximationsproblem für monische Polynome vom Grad $k$ .

Die ersten Chebyshev-Polynome

T_0,T_1,T_2,T_3

Alle vier bleiben im Intervall

[-1,1]

zwischen

-1

und

1

$x$: $[-1; 1]$
$y$: $[-1; 1]$

Polynome nach Legendre

Für das ungewichtete Skalarprodukt auf $[-1,1]$ ,

\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx

Für dieses Skalarprodukt erfüllen die üblichen Legendre-Polynome

P_0(x)=1,\qquad P_1(x)=x

Ihre Orthogonalität und Normierung sind

\int_{-1}^{1}P_j(x)P_k(x)\,dx=\frac{2}{2k+1}\delta_{jk}

Zum Beispiel gilt

P_2(x)=\frac12(3x^2-1)

Die zweite Identität ist eine $exakte orthogonale Entwicklung$ und keine Näherung.

Das Intervall orthogonaler Polynome ändern

Um das Intervall $[-1,1]$ auf $[a,b]$ abzubilden, verwenden wir die folgende $affine Variablentransformation$ .

x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t

Ist $\varphi_k$ auf $[-1,1]$ orthonormal, dann ist

\widetilde{\varphi}_k(x)=\sqrt{\frac{2}{b-a}}\,\varphi_k\left(\frac{2x-a-b}{b-a}\right)

Die Funktion $\widetilde{\varphi}_k$ ist auf $[a,b]$ orthonormal, denn

\begin{aligned} &\int_a^b\widetilde{\varphi}_j(x)\widetilde{\varphi}_k(x)\,dx \\ &=\int_{-1}^{1}\varphi_j(t)\varphi_k(t)\,dt \\ &=\delta_{jk} \end{aligned}

Verbindung zur Quadratur nach Gauß

Sei $p_n$ das orthogonale Polynom vom Grad $n$ für dasselbe positive Gewicht und Intervall wie ein Integral. Seine $n$ Nullstellen sind die Gauß-Quadraturknoten. Mit passenden positiven Gewichten $w_i$ erhält man

\int_a^b f(x)w(x)\,dx\approx\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)

Die Regel ist $für jedes Polynom$ bis zum Grad $2n-1$ exakt. Legendre-Nullstellen liefern die Gauß-Legendre-Quadratur für das Gewicht $w(x)=1$ . Chebyshev-Nullstellen liefern die Gauß-Chebyshev-Quadratur für $w(x)=1/\sqrt{1-x^2}$ .

Bei zwei Gauß-Legendre-Knoten liefert $P_2(x)=0$ die Werte $x=\pm1/\sqrt3$ . Beide Gewichte sind 1. Prüfe das quadratische Integral direkt:

\int_{-1}^1x^2\,dx=\frac23=1\left(-\frac1{\sqrt3}\right)^2+1\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2

Basis	Gewicht auf $[-1,1]$	Besonders geeignet für
Chebyshev $T_k$	$1/\sqrt{1-x^2}$	stabile Interpolationsgitter, nahezu optimale Minimax-Approximation, Spektralmethoden
Legendre $P_k$	$1$	ungewichtete $L^2$ -Projektion und Gauß-Legendre-Quadratur

Polynomfamilie, Skalarprodukt, Approximationsziel und Quadraturgewicht müssen zusammenpassen. Wird eines davon geändert, ändert sich das gelöste Problem.