Orthogonale Polynome

Sei $w(x)>0$ auf einem Intervall $[a,b]$. Das gewichtete Skalarprodukt und die davon erzeugte Norm sind

Zwei Funktionen sind orthogonal, wenn $\langle f,g\rangle_w=0$ gilt. Dies ist eine gewichtete $L^2$-Geometrie. Sie misst einen integrierten quadratischen Fehler und nicht den maximalen Fehler

Der Unterschied ist wichtig. Die orthogonale Projektion minimiert den gewichteten $L^2$-Fehler. Chebyshev-Polynome besitzen zusätzlich eine eigene Minimax-Eigenschaft, aber das gewichtete Skalarprodukt und die Maximumsnorm sind nicht austauschbar.

Projektion auf eine orthogonale Basis

Seien $p_0,ldots,p_n$ paarweise orthogonal. Die Projektion vom Grad $n$ einer Funktion $f$ lautet

Da alle Kreuzterme verschwinden, kann jeder Koeffizient unabhängig berechnet werden. Dies ist das funktionale Gegenstück zur Zerlegung eines Vektors entlang senkrechter Koordinatenachsen.

Dreitermrekursion aus Gram-Schmidt

Die Anwendung von Gram-Schmidt auf $1,x,x^2,ldots$ erzeugt eine Folge monischer orthogonaler Polynome $\pi_k$. Für ein positives Skalarprodukt gilt

mit

Die Dreitermform ist keine willkürliche Abkürzung. Die Multiplikation mit $x$ erhöht den Grad um eins. Durch die Orthogonalität verschwinden alle Komponenten unterhalb von $\pi_{k-1}$.

Chebyshev-Polynome erster Art

Wähle auf $[-1,1]$

Die Chebyshev-Polynome erster Art sind

Ihre gewichtete Orthogonalität lautet

Da $|T_k(x)|\le1$ auf $[-1,1]$ gilt und der Leitkoeffizient für $k\ge1$ gleich $2^{k-1}$ ist, hat das monische Polynom $2^{1-k}T_k$ unter allen monischen Polynomen vom Grad $k$ die kleinste Maximumsnorm. Dies ist die genaue Verbindung zur Minimax-Approximation.

Legendre-Polynome

Für das ungewichtete Skalarprodukt auf $[-1,1]$,

erfüllen die üblichen Legendre-Polynome

Ihre Orthogonalität und Normierung sind

Zum Beispiel gilt

Die zweite Identität ist eine exakte orthogonale Entwicklung und keine Näherung.

Von $[-1,1]$ nach $[a,b]$

Verwende die affine Variablentransformation

Ist $\varphi_k$ auf $[-1,1]$ orthonormal, dann ist

auf $[a,b]$ orthonormal, denn

Verbindung zur Gauß-Quadratur

Sei $p_n$ das orthogonale Polynom vom Grad $n$ für dasselbe positive Gewicht und Intervall wie ein Integral. Seine $n$ Nullstellen sind die Gauß-Quadraturknoten. Mit passenden positiven Gewichten $w_i$ erhält man

Die Regel ist für jedes Polynom bis zum Grad $2n-1$ exakt. Legendre-Nullstellen liefern die Gauß-Legendre-Quadratur für das Gewicht $w(x)=1$. Chebyshev-Nullstellen liefern die Gauß-Chebyshev-Quadratur für $w(x)=1/\sqrt{1-x^2}$.

Polynomfamilie, Skalarprodukt, Approximationsziel und Quadraturgewicht müssen zusammenpassen. Wird eines davon geändert, ändert sich das gelöste Problem.